PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 59 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Função exponencial

Considere a função f, dada por f(x) = b^x, com b > 0, b \neq 1 e x \in \mathbb{R}, e a sua inversa f^{-1}. A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de f e outro ao gráfico de f^{-1}. Determine b + k.

Gráfico no plano cartesiano das funções f e f⁻¹, com destaque para os pontos (9/25, k) sobre a curva de f⁻¹ e (3, 27/125) sobre a curva de f

  1. A
    \frac{5}{6}
  2. B
    1
  3. C
    \frac{6}{5}
  4. D
    \frac{13}{5}
  5. E
    \frac{18}{5}
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Resolução comentada

O ponto (3, \frac{27}{125}) está no gráfico de f, então f(3)=b^3=\frac{27}{125}. Como \left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{27}{125}, temos b=\frac{3}{5}. Isso combina com a figura: f é decrescente, pois 0<b<1.

Agora, o ponto (\frac{9}{25}, k) está no gráfico de f^{-1}. A inversa troca as coordenadas: se (a, c) está em f^{-1}, então (c, a) está em f. Logo (k, \frac{9}{25}) pertence a f, ou seja, f(k)=\frac{9}{25}.

Resolvendo:

  1. \left(\frac{3}{5}\right)^k=\frac{9}{25}
  2. \frac{9}{25}=\left(\frac{3}{5}\right)^2
  3. Então k=2.

Confere com a figura: f^{-1}(x)=\log_{3/5}x, e para x=\frac{9}{25}<1 o logaritmo de base menor que 1 é positivo, como o ponto aparece acima do eixo x.

Portanto:

b+k=\frac{3}{5}+2=\frac{13}{5}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEncontra valores incorretos para b e k, sem relação com b=\frac{3}{5} e k=2.
  • BResultado sem base no cálculo, que dá \frac{3}{5}+2.
  • CSoma b=\frac{3}{5} com k=\frac{3}{5} (ou erra o valor de k), em vez de k=2.
  • EUsa k=3 (confunde a abscissa 3 do outro ponto com k), obtendo \frac{3}{5}+3.

Assuntos: Função exponencial, Conceito de função, composta e inversa.

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