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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 34 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Mediana e moda

Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12.

Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição:
moda = mediana = média = amplitude = 23.

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. C
    11
  4. D
    22
  5. E
    44
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Resolução comentada

Coloque os 5 números em ordem crescente: a\le b\le c\le d\le e.

  1. A mediana é c=23.
  2. A média é 23, então a soma é 5\cdot 23=115. Logo a+b+d+e=92.
  3. A amplitude é 23, então e=a+23. Substituindo, 2a+b+d=69.
  4. A moda é 23, então o 23 precisa aparecer mais vezes que qualquer outro número. Como c=23, é preciso que b=23 ou d=23 (ou os dois).

Caso b=d=23: 2a=23, que não tem solução inteira.

Caso b=23 e d>23: 2a+d=46, então d=46-2a. Precisamos de 23<d\le e=a+23. Isso dá a\le 11 e a\ge 8 (pois 46-2a\le a+23). Então a=8,9,10,11, o que dá 4 listas. Por exemplo: (8,23,23,30,31).

Caso d=23 e b<23: 2a+b=46, então b=46-2a. Precisamos de a\le b\le 22. Isso dá a\ge 12 e a\le 15. Então a=12,13,14,15, o que dá 4 listas. Por exemplo: (12,22,23,23,35).

Nenhuma dessas listas repete outro número, então o 23 é de fato a moda.

Total: 4+4=8 listas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BConta uma lista a mais, provavelmente incluindo um caso inválido, como b=d=23, que não tem solução inteira.
  • CNão corresponde a nenhuma contagem válida; superconta os casos ao ignorar os limites a\le b\le 22 ou d\le a+23.
  • DConta listas sem ordenar ou sem impor as restrições de moda e amplitude.
  • EDobra indevidamente a contagem, tratando como distintas listas que são a mesma em outra ordem.

Assuntos: Mediana e moda, Média aritmética e ponderada, Medidas de dispersão.

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