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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 35 da FUVEST 2024

1ª fase · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um relógio digital utiliza os seguintes numerais para representar um determinado horário:

Numerais digitais de sete segmentos, apresentados na ordem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0.

Esse relógio está colocado sobre uma mesa de vidro, de forma que o vidro reflete o horário em sua superfície. A figura mostra um exemplo dessa situação:

Fotografia de um relógio digital sobre uma mesa de vidro. O visor marca 18:02, e seu reflexo na superfície do vidro apresenta os algarismos correspondentes a 18:05.

De 00:00 até as 23:59, quantas vezes o vidro refletirá um horário válido?

  1. A
    96
  2. B
    360
  3. C
    540
  4. D
    640
  5. E
    960
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Resolução comentada

O reflexo no vidro inverte os algarismos de cima para baixo, sem trocar sua ordem. Observando os segmentos, os únicos algarismos que continuam sendo numerais válidos são:

0\to0,\quad 1\to1,\quad 2\to5,\quad 3\to3,\quad 5\to2,\quad 8\to8.

Os algarismos 4, 6, 7 e 9 produzem desenhos que não correspondem aos numerais apresentados.

Além disso, tanto o horário original quanto o refletido precisam respeitar os limites de horas e minutos.

  1. Horas: o primeiro algarismo só pode ser 0 ou 1. Embora existam horas começando por 2, seu reflexo começaria por 5, tornando-as inválidas. O segundo algarismo pode ser qualquer um dos seis numerais permitidos. Assim, temos:

    2\cdot6=12\text{ possibilidades}.

  2. Minutos: o primeiro algarismo pode ser 0, 1, 2, 3 ou 5, pois todos se refletem em algarismos entre 0 e 5. O segundo pode ser qualquer um dos seis permitidos:

    5\cdot6=30\text{ possibilidades}.

Como cada uma dessas horas pode ser combinada com cada um desses minutos, o total é:

12\cdot30=360.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASubestima as combinações: são 12 possibilidades de horas e 30 de minutos, totalizando 360.
  • CNão respeita a contagem das horas válidas, que exclui todas as que começam por 2.
  • DExcede as 360 combinações que satisfazem simultaneamente a validade dos numerais e os limites do horário.
  • ESuperestima a contagem, pois apenas 12 horas e 30 minutos diferentes admitem reflexos válidos.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Transformações geométricas e localização.

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