Questão 87 da FUVEST 2023

O primorial n\# só muda quando n passa por um número primo. Então basta multiplicar os primos em ordem e parar no primeiro produto maior que 2000.

1. 2\# = 2
2. 3\# = 2\cdot 3 = 6
3. 5\# = 6\cdot 5 = 30
4. 7\# = 30\cdot 7 = 210
5. 11\# = 210\cdot 11 = 2310

Até 7\# o valor é 210, que não passa de 2000. Ao incluir o primo 11, o produto vai a 2310, que é maior que 2000.

Os valores de n\# são 2, 6, 30, 210, 2310, ... (crescentes). Entre 10 e 12, por exemplo, n\# vale 210 ou 2310, pois 8, 9 e 10 não são primos e não alteram o produto. Logo, o menor valor da forma n\# acima de 2000 é 2310.

Confira também que as outras opções não são primoriais: todo primorial com n\ge 7 é múltiplo de 2\cdot3\cdot5\cdot7=210, e 2310 = 210\cdot 11 é o único entre as opções que é múltiplo de 210.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A2300 não é produto de primos consecutivos a partir de 2; não é múltiplo de 3 nem de 7.
• B2305 é ímpar, mas todo primorial é múltiplo de 2; não é primorial.
• D2312 não é múltiplo de 3 (soma dos algarismos 8), então não é primorial.
• E2322 não é múltiplo de 5, logo não é primorial.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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