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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 39 da FUVEST 2022

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura).

Vista superior de dois quadrados adjacentes tracejados de 30 m de lado, com quatro tanques circulares sombreados de raio 10 m posicionados em seus vértices: no vértice inferior esquerdo, inferior direito, intermediário direito e superior esquerdo. Uma fita em linha contínua laranja contorna externamente os quatro tanques, tangenciando-os. Cotas indicam 30 m para a largura e 30 m para a altura de cada quadrado.

O comprimento da fita, em metros, é:

  1. A
    20\pi + 30(3 + \sqrt{2})
  2. B
    20\pi + 30(4 + \sqrt{2})
  3. C
    25\pi + 15(4 + \sqrt{2})
  4. D
    25\pi + 30(4 + \sqrt{2})
  5. E
    25\pi + 30(4 + 2\sqrt{2})
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Resolução comentada

A fita é formada por trechos retos (tangentes aos tanques) e arcos de circunferência. O truque é que a soma dos arcos equivale a voltas completas e que os trechos retos se calculam a partir dos centros.

Posicione os centros: A=(0,0), B=(30,0) (embaixo), C=(30,30) (direita, no meio) e D=(0,60) (em cima à esquerda).

Trechos retos:

  1. Embaixo, entre A e B: 30 m.
  2. À direita, entre B e C: 30 m.
  3. À esquerda, de A até D: 60 m.
  4. Na diagonal, entre C e D: o segmento tem catetos 30 e 30, logo mede 30\sqrt{2} m.

Cada trecho reto tangente externo tem o mesmo comprimento que o segmento entre os centros, pois os raios são iguais.

Total dos retos: 30+30+60+30\sqrt{2}=120+30\sqrt{2}=30(4+\sqrt{2}).

Arcos: a fita dá uma volta completa, então a soma dos ângulos dos arcos é 360^\circ. Verificando: em A, B e C os giros são 90^\circ (em A), 90^\circ (em B) e 45^\circ (em C, pois a direção passa de vertical para diagonal a 45^\circ), e em D são 135^\circ. Soma: 90+90+45+135=360^\circ.

Logo os arcos formam uma circunferência de raio 10: 2\pi\cdot 10=20\pi.

Comprimento total: 20\pi+30(4+\sqrt{2}).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a soma dos trechos retos, usando 30(3+√2) e esquecendo 30 m de lado reto.
  • CUsa 25π para os arcos e metade dos trechos retos, sem justificativa geométrica.
  • DUsa 25π, mas os arcos somam uma volta completa, isto é, 20π.
  • EUsa 25π e dobra a diagonal (2√2), quando ela vale 30√2 uma só vez.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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