Questão 38 da FUVEST 2022

Question

Suponha que o polinômio p(x) = x^3 + mx - 2, em que m é um número real, tenha uma raiz real dupla a e uma raiz real simples b. O valor da soma de m com a é:

A
0
B
-1
C
-2
D
-3
E
-4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 da FUVEST 2022

1ª fase · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Suponha que o polinômio p(x) = x^3 + mx - 2, em que m é um número real, tenha uma raiz real dupla a e uma raiz real simples b. O valor da soma de m com a é:

A
0
B
-1
C
-2
D
-3
E
-4

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Resolução comentada

Se a é raiz dupla e b é raiz simples, então p(x)=(x-a)^2(x-b). Vamos usar as relações de Girard para x^3+0x^2+mx-2.

Soma das raízes: a+a+b=0 \Rightarrow b=-2a.
Soma dos produtos dois a dois: a\cdot a+a\cdot b+a\cdot b=m \Rightarrow a^2+2ab=m.
Produto das raízes: a\cdot a\cdot b=2 \Rightarrow a^2b=2 (pois o termo independente é -2 e o grau é 3, então o produto é -(-2)=2).

Substituindo b=-2a no produto: a^2(-2a)=2 \Rightarrow -2a^3=2 \Rightarrow a^3=-1 \Rightarrow a=-1.

Então b=-2a=2.

Calculando m: m=a^2+2ab=1+2(-1)(2)=1-4=-3.

Conferindo: p(x)=x^3-3x-2. Em x=-1: -1+3-2=0. A derivada p'(x)=3x^2-3 também se anula em x=-1, confirmando raiz dupla. Em x=2: 8-6-2=0, raiz simples.

Portanto m+a=-3+(-1)=-4.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para ao encontrar m=-3 e esquece que a pergunta é m+a.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde a nenhuma combinação correta; com m=-3 e a=-1 a soma não é zero.
BConfunde com o valor de a apenas, esquecendo de somar m.
CUsa o sinal errado no produto das raízes ou erra m, obtendo valor incorreto.
DÉ o valor de m sozinho, sem somar a.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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