Questão 37 da FUVEST 2022

1ª fase

A figura mostra um quadrado e um círculo, ambos com centro no ponto O. O quadrado tem lado medindo 1 unidade de medida (u.m.) e o círculo tem raio igual a 2 u.m. O ponto A está sobre o contorno do quadrado, o ponto B está sobre o contorno do círculo, e o segmento AB tem tamanho 2 u.m.

Círculo de centro O e raio 2 contendo no interior um quadrado concêntrico de lado 1. O ponto A está sobre o contorno do quadrado e o ponto B sobre a circunferência do círculo, formando um triângulo OAB com o ângulo teta indicado no vértice O.

Quando o ângulo \theta = A\hat{O}B for máximo, seu cosseno será:

  1. A
    \dfrac{1}{8}
  2. B
    \dfrac{1}{4}
  3. C
    \dfrac{1}{2}
  4. D
    \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  5. E
    \dfrac{\sqrt{3}}{2}
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Resolução comentada

No triângulo OAB temos OB = 2 (raio), AB = 2 e OA = x, que varia conforme a posição de A no contorno do quadrado. Como OB = AB, o triângulo é isósceles com base OA.

Traçando a altura de B até a base OA, ela cai no ponto médio de OA. No triângulo retângulo formado, o ângulo \theta fica entre a base e o lado OB = 2, então:

\cos\theta = \frac{x/2}{2} = \frac{x}{4}

(a mesma conta sai pela lei dos cossenos: 4 = x^2 + 4 - 4x\cos\theta, logo \cos\theta = x/4).

O ângulo \theta entre 0 e 90^\circ é máximo quando o cosseno é mínimo, ou seja, quando x = OA é o menor possível.

O ponto A está no contorno do quadrado de lado 1 e centro O. A menor distância de O ao contorno é a do centro ao ponto médio de um lado:

x_{\min} = \frac{1}{2}

Então:

\cos\theta = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{8}

(O valor máximo de x seria \sqrt{2}/2, no vértice, o que daria o menor ângulo.)

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa a distância ao vértice, \sqrt{2}/2, em vez da distância mínima, 1/2, já que o ângulo máximo corresponde ao cosseno mínimo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BUsa \cos\theta = x/2 com x=1/2, esquecendo que a base do isósceles é dividida ao meio e o lado é 2.
  • CToma x = 2 ou confunde a distância mínima, sem relação com o quadrado.
  • DValor associado ao vértice (\sqrt2/2) sem dividir por 4, e o vértice dá o ângulo mínimo.
  • ENão decorre da relação \cos\theta = x/4 com x possível para o quadrado.

Assuntos: lei dos cossenos, triângulo isósceles, otimização geométrica.

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