Questão 36 da FUVEST 2022

Question

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

A
4
B
6
C
8
D
10
E
12

Note e adote:
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler F - A + V = 2, em que F é o número de faces, A é o número de arestas e V é o número de vértices do poliedro.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 36 da FUVEST 2022

1ª fase · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:

A
4
B
6
C
8
D
10
E
12

Note e adote:
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler F - A + V = 2, em que F é o número de faces, A é o número de arestas e V é o número de vértices do poliedro.

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Resolução comentada

Todas as faces são triângulos, então cada face tem 3 arestas. Como cada aresta é compartilhada por exatamente 2 faces, vale a relação:

3F = 2A \Rightarrow A = \dfrac{3F}{2}

Agora aplicamos a relação de Euler, F - A + V = 2, com V = 8:

Substituindo A: F - \dfrac{3F}{2} + 8 = 2
Simplificando: -\dfrac{F}{2} = -6
Logo, F = 12.

Conferindo: A = \dfrac{3\cdot 12}{2} = 18 e F - A + V = 12 - 18 + 8 = 2. ✓

Esse deltaedro existe: é o dodecadeltaedro (snub disphenoid), com 12 faces triangulares equiláteras e 8 vértices.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AÉ o número de faces do tetraedro, que tem 4 vértices, não 8.
BSeria o valor do cubo, cujas faces são quadrados, não triângulos; não satisfaz Euler com V=8 e faces triangulares.
CCoincide com o número de vértices; com 8 faces triangulares e V=8 Euler não fecha (A=12 daria 8-12+8=4).
DCom F=10, A=15 e F-A+V=3\neq 2, então a relação de Euler não é satisfeita.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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