Questão 35 da FUVEST 2022

1ª fase

Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00, a profundidade do poço é:

  1. A
    15 m
  2. B
    18 m
  3. C
    21 m
  4. D
    24 m
  5. E
    27 m
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Resolução comentada

Os custos de cada metro formam uma progressão aritmética (PA): o primeiro termo é a_1 = 1000 e a razão é r = 200, pois cada metro custa R$ 200,00 a mais que o anterior.

Se o poço tem n metros, o custo do último metro é:

a_n = 1000 + (n-1)\cdot 200 = 800 + 200n

O custo total é a soma dos n termos da PA:

S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} = \frac{(1000 + 800 + 200n)\cdot n}{2} = (900 + 100n)\,n

Igualando ao custo total:

  1. 100n^2 + 900n = 48\,600
  2. Dividindo por 100: n^2 + 9n - 486 = 0
  3. \Delta = 81 + 1944 = 2025, e \sqrt{2025} = 45
  4. n = \dfrac{-9 + 45}{2} = 18 (a raiz negativa não serve, pois a profundidade é positiva)

Conferindo: o último metro custa 800 + 200\cdot 18 = 4400, e a soma é \frac{(1000+4400)\cdot 18}{2} = 5400\cdot 9 = 48\,600. Correto.

O poço tem 18 m de profundidade.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom 15 m o custo total seria R$ 3.900 \u00d7 ... = 15\u00b7(1000+3800)/2 = R$ 36.000, menor que o valor dado.
  • CCom 21 m o total seria 21\u00b7(1000+5000)/2 = R$ 63.000, acima de R$ 48.600.
  • DCom 24 m o total seria R$ 81.600 aproximadamente, muito acima do valor do enunciado.
  • ECom 27 m o total seria ainda maior, R$ 99.900 aproximadamente, muito acima do valor do enunciado.

Assuntos: progressão aritmética, soma dos termos de uma PA, equação do 2º grau.

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