Questão 4 da FUVEST 2021

Question

Três triângulos equiláteros e dois quadrados unidos por um vértice comum e lados adjacentes, com seus centros formando os vértices de um pentágono destacado no interior.

Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é

A
T + Q.
B
\frac{1}{2} T + \frac{1}{2} Q.
C
T + \frac{1}{2} Q.
D
\frac{1}{3} T + \frac{1}{4} Q.
E
\frac{1}{3} T + \frac{1}{2} Q.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 da FUVEST 2021

1ª fase · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Três triângulos equiláteros e dois quadrados unidos por um vértice comum e lados adjacentes, com seus centros formando os vértices de um pentágono destacado no interior.

Três triângulos equiláteros e dois quadrados formam uma figura plana, como ilustrado. Seus centros são os vértices de um pentágono irregular, que está destacado na figura. Se T é a área de cada um dos triângulos e Q a área de cada um dos quadrados, a área desse pentágono é

A
T + Q.
B
\frac{1}{2} T + \frac{1}{2} Q.
C
T + \frac{1}{2} Q.
D
\frac{1}{3} T + \frac{1}{4} Q.
E
\frac{1}{3} T + \frac{1}{2} Q.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Cinco polígonos regulares (3 triângulos equiláteros e 2 quadrados) compartilham um vértice comum O. Os ângulos em torno de O somam 3\cdot 60^\circ + 2\cdot 90^\circ = 360^\circ, o que confirma a figura.

O pentágono tem como vértices os centros desses polígonos. Cada polígono vizinho divide um lado com o próximo, então os dois centros consecutivos ficam em lados opostos de um lado comum. Dividimos o pentágono em 5 triângulos com vértice em O, um para cada par de centros consecutivos.

Para cada par de polígonos vizinhos, com centros C_1 e C_2, o triângulo O C_1 C_2 tem os lados OC_1 e OC_2 ligando O aos centros. Esses segmentos ligam O a cada centro, e cada polígono é visto de O por um setor que vai do lado comum anterior ao próximo.

Usamos então a decomposição em triângulos O C_i M, em que M é o ponto médio do lado comum a dois polígonos. Cada polígono contribui com duas metades: o segmento OC_i divide o polígono em duas partes iguais por simetria, e a parte entre OC_i e cada lado comum corresponde a um triângulo O C_i M.

O pentágono é a união desses triângulos, que vão de O ao centro de cada polígono até os pontos médios dos lados comuns. Cada polígono contribui com a região entre os dois pontos médios dos lados que partem de O, que é um quadrilátero O M_1 C M_2. Sua área é:

Triângulo equilátero: o quadrilátero O M_1 C M_2 tem área \frac{1}{3}T (a área total dividida em 3 pelo centro, cada parte formada por dois triângulos de ângulo em O).
Quadrado: \frac{1}{4}Q (o centro divide o quadrado em 4 partes iguais).

Somando: 3 triângulos e 2 quadrados dão 3\cdot\frac{1}{3}T + 2\cdot\frac{1}{4}Q = T + \frac{1}{2}Q.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconsidera os quadrados inteiros, sem tomar apenas 1/4 de cada um.
Btoma metade de cada figura, o que não corresponde à região do pentágono.
Dusa 1/3 e 1/4 sem multiplicar pelo número de figuras (3 triângulos e 2 quadrados).
Emultiplica a fração do triângulo por 1 em vez de 3 e usa 1/2 para o quadrado, sem justificativa.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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