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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 da FUVEST 2021

1ª fase · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Tirinha intitulada "Cientirinhas #143" dividida em quatro quadros. No primeiro quadro, sob uma faixa que diz "Encontro Anual de Primos", um personagem com a camiseta de número 2 cumprimenta outro com a camiseta 23: "Saudades, primo. Você é um cara ímpar!"; o outro responde: "Você diz isso pra todo mundo aqui na festa." Ao fundo, vê-se outro com o número 7. No segundo quadro, o personagem 37 comenta: "Bacana ver que a turma continua unida", e o personagem 73 responde: "Verdade! É uma galera que não se deixa dividir por qualquer fator." No terceiro quadro, o personagem 61 pergunta: "Você sabe quem é aquele sujeito?", e o 137 responde: "Também não conheço. É um primo distante." No quarto quadro, um personagem com óculos mexe no celular usando uma camiseta com um número longo: "6056 52931 6217", enquanto ao fundo comentam: "Ouvi dizer que ele trabalha com criptografia."

O quadrinho aborda o tema de números primos, sobre os quais é correto afirmar:

  1. A
    Todos os números primos são ímpares.
  2. B
    Existem, no máximo, 7 trilhões de números primos.
  3. C
    Todo número da forma 2^n + 1, n \in \mathbb{N}, é primo.
  4. D
    Entre 24 e 36, existem somente 2 números primos.
  5. E
    O número do quadrinho, 143, é um número primo.
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Resolução comentada

Número primo é aquele que tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Vamos testar cada afirmação.

(A) Falsa. O número 2 é primo e é par; ele aparece na camiseta do primeiro quadro.

(B) Falsa. Euclides provou que existem infinitos primos, então não há um máximo.

(C) Falsa. Basta achar um contraexemplo: com n=3, 2^3+1=9=3\cdot 3, que não é primo.

(D) Falsa. Entre 24 e 36, os números são 25, 26, ..., 35. Vamos eliminar:

  1. 25 é divisível por 5;
  2. 27 é divisível por 3;
  3. 29 não tem divisor além de 1 e dele mesmo, então é primo;
  4. 31 é primo, pois não é divisível por 2, 3 ou 5;
  5. 33 é divisível por 3;
  6. 35 é divisível por 5;
  7. os pares 26, 28, 30, 32, 34 não são primos.

São 2 primos: 29 e 31. Esta afirmação é verdadeira.

(E) Falsa. 143 = 11\cdot 13, logo é composto. Isso pode ser notado testando os primos até \sqrt{143}\approx 11{,}9.

Portanto, a única afirmação correta é a D.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana por usar o número 143 do título da tirinha, que parece primo mas é 11·13.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO número 2 é primo e par, então nem todo primo é ímpar.
  • BExistem infinitos números primos, não há limite máximo.
  • CContraexemplo: 2^3+1=9 não é primo.
  • E143=11\cdot 13, portanto é composto.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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