Questão 12 da FUVEST 2021

1ª fase

Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12\text{ cm} e 35\text{ cm}. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo. A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de

  1. A
    8{,}0\text{ cm}.
  2. B
    8{,}5\text{ cm}.
  3. C
    9{,}0\text{ cm}.
  4. D
    9{,}5\text{ cm}.
  5. E
    10{,}0\text{ cm}.
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Resolução comentada

Coloque o ângulo reto do quadrado sobre o ângulo reto do triângulo. O quadrado de lado x fica com dois lados sobre os catetos, e o vértice oposto ao ângulo reto toca a hipotenusa.

Assim sobra, acima do quadrado, um triângulo menor, semelhante ao original. Seus catetos são 12-x (na vertical) e x (na horizontal, o lado do quadrado).

Pela semelhança, a razão entre o cateto vertical e o horizontal é a mesma do triângulo grande:

\frac{12-x}{x}=\frac{12}{35}

Passo a passo:

  1. Multiplique em cruz: 35(12-x)=12x.
  2. Desenvolva: 420-35x=12x.
  3. Isole: 420=47x.
  4. Resolva: x=\dfrac{420}{47}\approx 8{,}94\ \text{cm}.

Conferindo: 47\cdot 9=423, que é um pouco mais que 420, então x é um pouco menor que 9, perto de 8{,}94.

O valor mais próximo é 9{,}0\ \text{cm}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A8{,}0 fica longe de 420/47\approx 8{,}94; não resulta de nenhuma montagem correta da semelhança.
  • B8{,}5 é menor que o valor calculado de 8{,}94 e está mais distante de 9.
  • D9{,}5 está acima do valor correto de 8{,}94, mais distante que 9{,}0.
  • E10{,}0 seria o resultado de uma proporção mal montada; o quadrado não caberia no triângulo.

Assuntos: semelhança de triângulos, triângulo retângulo.

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