PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 11 da FUVEST 2021
Se f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} são funções dadas por f(x) = c + x^2, onde c \in \mathbb{R}, e g(x) = x, seus gráficos se intersectam quando, e somente quando,
- Ac \le \frac{1}{4}.
- Bc \ge \frac{1}{4}.
- Cc \le \frac{1}{2}.
- Dc \ge \frac{1}{2}.
- Ec \le 1.
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Resolução comentada
Os gráficos se intersectam quando existe x real tal que f(x) = g(x). Então precisamos que a equação abaixo tenha solução real.
- Igualamos as funções: c + x^2 = x.
- Passamos tudo para um lado: x^2 - x + c = 0.
- Essa é uma equação do 2º grau com a = 1, b = -1 e c = c. Ela tem raiz real quando o discriminante é maior ou igual a zero.
- Calculamos o discriminante: \Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot c = 1 - 4c.
- Impomos \Delta \ge 0: 1 - 4c \ge 0, logo 4c \le 1 e c \le \frac{1}{4}.
Verificação: para c = \frac{1}{4}, \Delta = 0 e a parábola toca a reta y = x em um único ponto, x = \frac{1}{2}. Isso é uma intersecção, então o caso de igualdade entra. Para c > \frac{1}{4}, a parábola fica inteira acima da reta e não há intersecção.
Portanto, os gráficos se intersectam se, e somente se, c \le \frac{1}{4}.
Alternativa A.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Binverte o sentido da desigualdade; para c>\frac14 o discriminante é negativo e não há intersecção.
- Cvalor \frac12 não vem do discriminante; para \frac14<c\le\frac12 não há intersecção.
- Dusa o valor errado e o sentido errado da desigualdade.
- Eo limite 1 é grande demais; para \frac14<c\le 1 o discriminante é negativo.
Assuntos: Função quadrática, Equação do 2º grau.
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