Questão 22 da FUVEST 2020

Equidistante dos eixos significa |x| = |y|, isto é, o ponto está na reta y = x ou na reta y = -x.

O círculo: completando quadrados, (x-1)^2 + (y-3)^2 = 1 + 9 - 2 = 8. Centro (1, 3) e raio 2\sqrt{2}.

1. Caso y = x: substituindo, 2x^2 - 8x + 2 = 0, ou seja, x^2 - 4x + 1 = 0. O discriminante é 16 - 4 = 12 > 0, então x = 2 \pm \sqrt{3}, ou seja, x \approx 3{,}73 ou x \approx 0{,}27. Os dois pontos têm x = y > 0, logo estão no primeiro quadrante.

2. Caso y = -x: substituindo, 2x^2 - 2x + 6x + 2 = 0, ou seja, 2x^2 + 4x + 2 = 0, que dá (x+1)^2 = 0 e x = -1. Um único ponto, (-1, 1), onde a reta é tangente ao círculo. Ele tem x<0 e y>0, portanto está no segundo quadrante.

Conferindo a tangência: a distância de (1,3) à reta x + y = 0 é \frac{|1+3|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}, igual ao raio.

Assim, F tem 3 pontos: dois no primeiro quadrante e um no segundo.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece que y=-x é tangente ao círculo e conta dois pontos no segundo quadrante.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AAs retas y=\pm x realmente encontram o círculo, então F não é vazio.
• BConsidera só um ponto da reta y=x, mas ela corta o círculo em dois pontos.
• CIgnora a reta y=-x, que é tangente ao círculo em (-1,1).
• ESupõe que y=-x corta o círculo em dois pontos, mas ela é tangente (discriminante zero).

Assunto: Equação da circunferência.

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