PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 19 da FUVEST 2020
A função E de Euler determina, para cada número natural n, a quantidade de números naturais menores do que n cujo máximo divisor comum com n é igual a 1. Por exemplo, E(6) = 2 pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E(n), para n de 20 a 25?
- A19
- B20
- C22
- D24
- E25
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Resolução comentada
A função de Euler conta quantos números menores que n são primos com n (mdc igual a 1). Para n primo, todos os números de 1 a n-1 servem, então E(n)=n-1. Para n composto, sempre existe algum número menor que n com fator comum com n, então E(n) é bem menor que n-1.
Olhando os valores de 20 a 25, o único primo é 23, então:
Conferindo os demais, que são compostos:
- E(20): 20=2^2\cdot 5, e E(20)=20\cdot\frac12\cdot\frac45=8.
- E(21): 21=3\cdot 7, e E(21)=2\cdot 6=12.
- E(22): 22=2\cdot 11, e E(22)=1\cdot 10=10.
- E(24): 24=2^3\cdot 3, e E(24)=24\cdot\frac12\cdot\frac23=8.
- E(25): 25=5^2, e E(25)=25-5=20 (excluindo os 4 múltiplos de 5 menores que 25 e ficando com 24-4=20).
O maior valor é E(23)=22.
Alternativa C.
Por que as outras alternativas estão erradas
- A19 não é o valor de E para nenhum n do intervalo; seria E(n) com n=20 tomado como n-1, ignorando o mdc.
- B20 é E(25), valor menor que E(23)=22.
- D24 seria E(25) se todos os menores que 25 fossem primos com ele, mas os múltiplos de 5 não servem.
- E25 é maior que qualquer E(n) possível, pois E(n) é no máximo n-1.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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