Questão 20 da FUVEST 2020

Use a diferença de cubos expandida: (x-a)^3 - (x-b)^3.

Primeiro, desenvolva cada cubo:

(x-a)^3 = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3

(x-b)^3 = x^3 - 3bx^2 + 3b^2x - b^3

Subtraindo, o termo x^3 desaparece:

Como a igualdade vale para todo x real, os coeficientes de cada potência devem ser iguais aos de 3x^2 - 9x + 7:

1. Coeficiente de x^2: 3(b-a) = 3 \Rightarrow b-a = 1.
2. Coeficiente de x: 3(a^2-b^2) = -9 \Rightarrow a^2-b^2 = -3.

Fatorando: a^2-b^2 = (a-b)(a+b). Como a-b = -1, temos

Conferindo o termo constante: a+b=3 e b-a=1 dão b=2, a=1, então b^3-a^3 = 8-1 = 7, que bate com o termo independente.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão corresponde a nenhuma combinação correta dos coeficientes; a+b=5 não satisfaz b-a=1 e a^2-b^2=-3.
• CValor sem relação com o sistema obtido; ignora a fatoração (a-b)(a+b).
• DToma o coeficiente -9 em módulo como se fosse a+b, esquecendo de dividir por 3 e pelo fator a-b.
• ENão decorre dos coeficientes; resultado de erro no desenvolvimento dos cubos.

Assuntos: Polinômios, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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