Questão 17 da FUVEST 2020

Question

A menor esfera na qual um paralelepípedo reto-retângulo de medidas 7\ \text{cm} \times 4\ \text{cm} \times 4\ \text{cm} está inscrito tem diâmetro de

A
9\ \text{cm}.
B
10\ \text{cm}.
C
11\ \text{cm}.
D
12\ \text{cm}.
E
15\ \text{cm}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 da FUVEST 2020

1ª fase · Matemática: Esfera

A menor esfera na qual um paralelepípedo reto-retângulo de medidas 7\ \text{cm} \times 4\ \text{cm} \times 4\ \text{cm} está inscrito tem diâmetro de

A
9\ \text{cm}.
B
10\ \text{cm}.
C
11\ \text{cm}.
D
12\ \text{cm}.
E
15\ \text{cm}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Quando um paralelepípedo reto-retângulo está inscrito em uma esfera, todos os seus vértices ficam sobre a esfera. O centro da esfera coincide com o centro do paralelepípedo, e o diâmetro é a diagonal do sólido, que liga dois vértices opostos.

Para um paralelepípedo de arestas a, b e c, a diagonal é:

d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Essa fórmula vem de aplicar Pitágoras duas vezes: primeiro na diagonal da base, \sqrt{a^2+b^2}, depois no triângulo formado por essa diagonal, a aresta c e a diagonal do sólido.

Substituindo a=7, b=4 e c=4:

7^2=49
4^2=16 e 4^2=16
Soma: 49+16+16=81
d=\sqrt{81}=9\ \text{cm}

Como todo vértice precisa estar na esfera, nenhuma esfera menor que essa contém o paralelepípedo, então ela é a menor possível, e seu diâmetro é 9\ \text{cm}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com a diagonal; não corresponde a \sqrt{49+16+16}.
CSoma as arestas da forma 7+4, sem usar a fórmula da diagonal espacial.
DNão resulta da raiz da soma dos quadrados das arestas.
ESoma as três arestas (7+4+4) em vez de usar a raiz da soma dos quadrados.

Assuntos: Esfera, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova