Questão 50 da FUVEST 2019

Question

Forma-se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0{,}1\text{ mm} de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza

A
da altura de um poste.
B
da altura de um prédio de 30 andares.
C
do comprimento da Av. Paulista.
D
da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
E
do diâmetro da Terra.

Answer 1

Questão 50 da FUVEST 2019

1ª fase

Forma-se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0{,}1\text{ mm} de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca-se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza

A
da altura de um poste.
B
da altura de um prédio de 30 andares.
C
do comprimento da Av. Paulista.
D
da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
E
do diâmetro da Terra.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Veja como a pilha cresce. Na 1ª operação há 1 folha. Na 2ª, coloca-se tantas quantas já havia (1), e o total vira 2. Na 3ª, colocam-se 2, e o total vira 4. Como o total dobra a cada operação, depois de n operações há 2^{n-1} folhas.

Para n = 33:

Número de folhas: 2^{32}.
Usando 2^{10} \approx 10^3, temos 2^{32} = 2^{2}\cdot 2^{30} \approx 4 \cdot 10^{9} folhas. O valor exato é 4{,}29\cdot 10^9.
Altura: 4{,}29\cdot 10^{9} \times 0{,}1\ \text{mm} \approx 4{,}3\cdot 10^{8}\ \text{mm}.
Em metros: 4{,}3\cdot 10^{8}\ \text{mm} = 4{,}3\cdot 10^{5}\ \text{m} \approx 430\ \text{km}.

Agora compare com as alternativas. Um poste tem cerca de 10 m, um prédio de 30 andares cerca de 100 m, e a Av. Paulista cerca de 3 km. A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é da ordem de 400 km, e o diâmetro da Terra é de cerca de 12 700 km.

A altura de 430 km é, portanto, da ordem da distância São Paulo–Rio.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AAltura de poste (~10 m) está muito abaixo dos cerca de 430 km obtidos.
BPrédio de 30 andares (~100 m) também está muito abaixo do resultado.
CA Av. Paulista tem ~3 km, bem menos que 430 km; seria erro de várias potências de 10.
EO diâmetro da Terra (~12 700 km) é cerca de 30 vezes maior que 430 km; resultaria de usar 2^{33} e errar a conversão de unidades.

Assuntos: potências de 2, ordem de grandeza, progressão geométrica.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova