Questão 51 da FUVEST 2019

Question

A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto-retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

Desenho em perspectiva de uma escada de quatro degraus indicando as dimensões: largura do degrau de 50 cm, comprimento do piso de 20 cm e altura de cada degrau de 10 cm.

A
2{,}1\ \text{m}^3
B
2{,}3\ \text{m}^3
C
3{,}0\ \text{m}^3
D
4{,}2\ \text{m}^3
E
6{,}0\ \text{m}^3

Answer 1

Questão 51 da FUVEST 2019

1ª fase

A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto-retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

Desenho em perspectiva de uma escada de quatro degraus indicando as dimensões: largura do degrau de 50 cm, comprimento do piso de 20 cm e altura de cada degrau de 10 cm.

A
2{,}1\ \text{m}^3
B
2{,}3\ \text{m}^3
C
3{,}0\ \text{m}^3
D
4{,}2\ \text{m}^3
E
6{,}0\ \text{m}^3

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Resolução comentada

A escada maciça pode ser vista como uma pilha de paralelepípedos. O degrau k tem base de 20\ \text{cm} \times 50\ \text{cm} e altura 10k cm, pois cada degrau sobe 10 cm em relação ao anterior e a escada é maciça.

Os dados do enunciado são: a base de cada degrau mede 20 \times 50 = 1000\ \text{cm}^2, e as alturas formam a sequência 10, 20, 30, \dots, 200 cm.

O volume de cada degrau é a área da base vezes a altura, então o volume total é:

V = 1000\cdot(10+20+30+\dots+200)\ \text{cm}^3

A soma é 10\,(1+2+\dots+20).
Pela soma de uma PA, 1+2+\dots+20 = \dfrac{20\cdot 21}{2} = 210.
Logo, 10\cdot 210 = 2100.
Então V = 1000\cdot 2100 = 2{,}1\times 10^6\ \text{cm}^3.

Como 1\ \text{m}^3 = 10^6\ \text{cm}^3, resulta V = 2{,}1\ \text{m}^3.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece de dividir por 2 na soma da PA e obtém o dobro do volume.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem respaldo em um cálculo correto, provavelmente de erro na soma da PA.
CNão corresponde à soma das alturas; resulta de erro de conta ou de aproximação.
DDobra o resultado correto, por exemplo usando n(n+1) sem dividir por 2 na soma da PA.
ETrata a escada como um bloco de 20 degraus com altura de 200 cm em toda a extensão, ignorando que a altura cresce.

Assuntos: volume de paralelepípedo, progressão aritmética.

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