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Questão 29 da FUVEST 2018

1ª fase · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Prolongando-se os lados de um octógono convexo ABCDEFGH, obtém-se um polígono estrelado, conforme a figura.

Polígono estrelado de oito pontas formado a partir do prolongamento dos lados de um octógono convexo central de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Cada vértice externo da estrela possui um ângulo indicado, rotulados de α₁ a α₈.

A soma \alpha_1 + \cdots + \alpha_8 vale

  1. A
    180^\circ.
  2. B
    360^\circ.
  3. C
    540^\circ.
  4. D
    720^\circ.
  5. E
    900^\circ.
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Resolução comentada

Cada ponta da estrela é um triângulo apoiado em um lado do octógono. Em cada triângulo, a soma dos ângulos é 180^\circ: o ângulo \alpha_i da ponta mais os dois ângulos da base, que ficam sobre o lado do octógono.

São 8 triângulos, então a soma de todos os ângulos deles é:

8\cdot 180^\circ = 1440^\circ

Os ângulos da base são ângulos externos ao octógono, formados pelo prolongamento dos lados. Em cada vértice do octógono, o ângulo interno \hat{v} e os dois ângulos das bases dos triângulos vizinhos somam 360^\circ em volta do ponto. Com a base de um dos triângulos e o prolongamento do lado, o ângulo externo do vértice é o suplemento do interno, e as duas bases juntas ali formam o ângulo oposto pelo vértice ao interno.

Assim, em cada vértice, os dois ângulos de base (um de cada triângulo vizinho) somam 180^\circ - e, em que e é o ângulo externo do octógono, ou seja, valem 180^\circ - e_i por vértice.

  1. Soma dos ângulos de base: 8\cdot 180^\circ - \sum e_i.
  2. A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360^\circ, então as bases somam 1440^\circ - 360^\circ = 1080^\circ.
  3. Logo: \sum \alpha_i = 1440^\circ - 1080^\circ = 360^\circ.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde com a soma dos ângulos de um único triângulo, sem considerar os 8 triângulos e as bases.
  • CValor sem justificativa; não sai da soma dos ângulos dos triângulos menos as bases.
  • DDobra o resultado correto, por exemplo usando 2\cdot 360^\circ por contar duas vezes os ângulos externos.
  • EValor sem relação com a soma dos ângulos externos; não resulta do cálculo correto.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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