Questão 28 da FUVEST 2018

Question

Sejam D_f e D_g os maiores subconjuntos de \mathbb{R} nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais

f(x) = \sqrt{\frac{x^3+2x^2-4x-8}{x-2}} \quad \text{e} \quad g(x) = \frac{\sqrt{x^3+2x^2-4x-8}}{\sqrt{x-2}}\,.

Considere, ainda, I_f e I_g as imagens de f e de g, respectivamente.

Nessas condições,

A
D_f = D_g e I_f = I_g.
B
tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em apenas um ponto.
C
D_f e D_g diferem em apenas um ponto, I_f e I_g diferem em mais de um ponto.
D
D_f e D_g diferem em mais de um ponto, I_f e I_g diferem em apenas um ponto.
E
tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em mais de um ponto.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da FUVEST 2018

1ª fase · Matemática: Conceito de função, composta e inversa

Sejam D_f e D_g os maiores subconjuntos de \mathbb{R} nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais

f(x) = \sqrt{\frac{x^3+2x^2-4x-8}{x-2}} \quad \text{e} \quad g(x) = \frac{\sqrt{x^3+2x^2-4x-8}}{\sqrt{x-2}}\,.

Considere, ainda, I_f e I_g as imagens de f e de g, respectivamente.

Nessas condições,

A
D_f = D_g e I_f = I_g.
B
tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em apenas um ponto.
C
D_f e D_g diferem em apenas um ponto, I_f e I_g diferem em mais de um ponto.
D
D_f e D_g diferem em mais de um ponto, I_f e I_g diferem em apenas um ponto.
E
tanto D_f e D_g quanto I_f e I_g diferem em mais de um ponto.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Fatore o numerador: x^3+2x^2-4x-8 = x^2(x+2)-4(x+2) = (x+2)(x^2-4) = (x+2)^2(x-2).

Domínio de f: precisamos de \frac{(x+2)^2(x-2)}{x-2}\ge 0 com x\ne 2. Para x\ne2 a fração vale (x+2)^2\ge0, sempre verdadeiro. Logo D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\} e f(x)=\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|.

Domínio de g: o denominador exige x-2>0, ou seja, x>2. Nesse caso o numerador vale (x+2)^2(x-2)\ge0, que é verdadeiro. Logo D_g=(2,+\infty) e g(x)=\frac{|x+2|\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-2}}=x+2.

Os domínios diferem em muitos pontos (todo x<2), então D_f\ne D_g em mais de um ponto.

Imagens:

I_f: |x+2| com x\ne2 assume todos os valores \ge0; o valor 4 também é atingido em x=-6. Logo I_f=[0,+\infty).
I_g: x+2 com x>2 dá valores >4, então I_g=(4,+\infty).

As imagens diferem em [0,4], um intervalo com infinitos pontos, ou seja, em mais de um ponto.

Assim, tanto os domínios quanto as imagens diferem em mais de um ponto.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AOs domínios são diferentes: D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\} e D_g=(2,+\infty).
BSupõe que só x=2 seja excluído, mas g exige x>2, e as imagens diferem em [0,4].
CErra ao dizer que os domínios diferem em um ponto; diferem em todo x<2.
DAs imagens diferem em todo o intervalo [0,4], não em um ponto.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova