Questão 30 da FUVEST 2018

Question

Gráfico no plano cartesiano Oxy com duas curvas senoidais: uma representada por linha pontilhada e outra por linha contínua, ambas passando pela origem (0, 0). A linha pontilhada possui amplitude maior e menor período do que a linha contínua.

Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = \sen(x) e que a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = \alpha\sen(\beta x), segue que

A
0 < \alpha < 1 e 0 < \beta < 1.
B
\alpha > 1 e 0 < \beta < 1.
C
\alpha = 1 e \beta > 1.
D
0 < \alpha < 1 e \beta > 1.
E
0 < \alpha < 1 e \beta = 1.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da FUVEST 2018

1ª fase · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Gráfico no plano cartesiano Oxy com duas curvas senoidais: uma representada por linha pontilhada e outra por linha contínua, ambas passando pela origem (0, 0). A linha pontilhada possui amplitude maior e menor período do que a linha contínua.

Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função f(x) = \sen(x) e que a linha contínua represente o gráfico da função g(x) = \alpha\sen(\beta x), segue que

A
0 < \alpha < 1 e 0 < \beta < 1.
B
\alpha > 1 e 0 < \beta < 1.
C
\alpha = 1 e \beta > 1.
D
0 < \alpha < 1 e \beta > 1.
E
0 < \alpha < 1 e \beta = 1.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Em g(x)=\alpha\sen(\beta x), o parâmetro \alpha controla a amplitude (o valor máximo de |g|) e \beta controla o período, que vale \dfrac{2\pi}{\beta}. A função f(x)=\sen(x) tem amplitude 1 e período 2\pi, ou seja, \alpha=1 e \beta=1.

Amplitude: no gráfico, a curva contínua sobe menos que a pontilhada, que é \sen(x) e tem amplitude 1. Logo, a amplitude de g é menor que 1, isto é, 0<\alpha<1.
Período: a curva contínua completa um ciclo em um intervalo maior que o da pontilhada. Então o período de g é maior que 2\pi:

\frac{2\pi}{\beta}>2\pi \Rightarrow \beta<1.

Como \beta>0 (a curva contínua sobe logo após a origem, como o seno), temos 0<\beta<1.

Conclusão: 0<\alpha<1 e 0<\beta<1. Um período maior significa uma curva mais "esticada" na horizontal, o que corresponde a \beta menor que 1.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem associa "curva menor" a \beta maior; na verdade \beta maior comprime o período, e aqui o período aumentou.

Por que as outras alternativas estão erradas

BDiz que \alpha>1, mas a curva contínua tem amplitude menor que a pontilhada.
CSupõe \alpha=1 e \beta>1, mas a amplitude é menor e o período é maior.
DAcerta \alpha, mas \beta>1 encurtaria o período, e o gráfico mostra período maior.
ECom \beta=1 o período seria igual ao de \sen(x), mas o gráfico mostra período maior.

Assunto: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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