Questão 82 da FUVEST 2017

1ª fase

João tem R$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa R$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa R$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa R$ 3,20 e há 25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo R$ 150,00 é igual a

  1. A
    46
  2. B
    45
  3. C
    44
  4. D
    43
  5. E
    42
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Resolução comentada

Compare primeiro o custo por caneta em cada loja:

  • Loja A: 40/12 \approx R$ 3,33;
  • Loja B: 7{,}60/2 = R$ 3,80;
  • Loja C: R$ 3,20.

A loja C é a mais barata, depois A e por último B. Mas o estoque limita a compra e as dúzias e os pares vêm em lotes fechados, então é preciso testar as combinações.

  1. Comprando as 2 dúzias de A: gasta-se R$ 80,00 e ficam 24 canetas e R$ 70,00. Com esse valor, em C compram-se \lfloor 70/3{,}2 \rfloor = 21 canetas (R$ 67,20). Total: 24+21 = 45.
  2. Ainda com as 2 dúzias, trocar avulsas por pares não melhora: 1 par e 19 avulsas dão 45; 2 pares e 17 avulsas dão 45; 3 pares e 14 avulsas dão 44.
  3. Para chegar a 46 com 2 dúzias, seriam 22 canetas com R$ 70,00, o que custaria no mínimo 22 \cdot 3{,}20 = 70{,}40 > 70. Não dá.
  4. Com 1 dúzia: sobram R$ 110,00. Compram-se as 25 avulsas (R$ 80,00) e 3 pares (R$ 22,80), totalizando 12+25+6=43.
  5. Sem dúzias: 25 avulsas (R$ 80,00) e 9 pares (R$ 68,40) dão 25+18=43.

O máximo é 45 canetas.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A46 exigiria 22 canetas além das 24 das dúzias com R$ 70,00, mas o mínimo seria R$ 70,40.
  • C44 é o resultado de uma combinação com 3 pares, que não é a melhor.
  • D43 surge ao esgotar a loja C e completar com pares, ignorando as 2 dúzias de A.
  • E42 fica abaixo do máximo, pois não aproveita bem o dinheiro.

Assuntos: otimização, operações com números decimais.

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