Questão 81 da FUVEST 2017

1ª fase

O paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.

Ilustração de um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH com a base inferior ABCD e base superior EFGH. As arestas internas conectadas ao vértice D estão representadas por linhas tracejadas.

O seno do ângulo H\hat{A}F é igual a

  1. A
    \dfrac{1}{2\sqrt{5}}
  2. B
    \dfrac{1}{\sqrt{5}}
  3. C
    \dfrac{2}{\sqrt{10}}
  4. D
    \dfrac{2}{\sqrt{5}}
  5. E
    \dfrac{3}{\sqrt{10}}
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Resolução comentada

Coloque A na origem, com AB = 4 no eixo x, AD = BC = 2 no eixo y e AE = BF = 2 no eixo z. Então A = (0,0,0), F = (4,0,2) e H = (0,2,2).

O triângulo AFH tem os três lados dados por diagonais de faces:

  1. AF = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
  2. AH = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
  3. FH = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

O ângulo H\hat{A}F fica entre AH e AF. Pela lei dos cossenos:

FH^2 = AF^2 + AH^2 - 2\cdot AF\cdot AH\cos\theta
20 = 20 + 8 - 2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{2}\cos\theta
8\sqrt{10}\cos\theta = 8 \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}

Então:

\sen\theta = \sqrt{1-\frac{1}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}

Conferência pelo produto escalar: \vec{AF}\cdot\vec{AH} = 0+0+4 = 4, e \cos\theta = \frac{4}{2\sqrt5\cdot 2\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt{10}}, o que confirma.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B é o cosseno de HÂF vezes... na verdade o cosseno é 1/\sqrt{10}; quem para no cosseno, sem passar para o seno, cai em erro de grandeza parecida.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa geométrica; não sai de nenhum cálculo correto com os lados do triângulo AFH.
  • BConfunde com a razão entre lados como 2/(2\sqrt5), ignorando a lei dos cossenos.
  • CValor que não corresponde a nenhuma razão do triângulo AFH; o seno correto é 3/\sqrt{10}.
  • DSeria o seno de um ângulo de outro triângulo (como FAB, com seno 2/\sqrt{5}... de outra configuração), não de HÂF.

Assuntos: geometria espacial, lei dos cossenos, diagonais do paralelepípedo.

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