Questão 3 da FUVEST 2016

Question

Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60\ km/h, a terça parte seguinte a 40\ km/h e o restante do percurso a 20\ km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em km/h, é

A
32,5
B
35
C
37,5
D
40
E
42,5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 da FUVEST 2016

1ª fase · Matemática: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão

Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira terça parte do trajeto à velocidade média de 60\ km/h, a terça parte seguinte a 40\ km/h e o restante do percurso a 20\ km/h. O valor que melhor aproxima a velocidade média do veículo nessa viagem, em km/h, é

A
32,5
B
35
C
37,5
D
40
E
42,5

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Resolução comentada

A velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total. Ela não é a média aritmética das velocidades, porque o veículo gasta tempos diferentes em cada trecho.

Chame de D o trajeto total. Cada terça parte vale \frac{D}{3}. Em cada trecho, o tempo é t = \frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}:

Primeiro trecho: t_1 = \dfrac{D/3}{60} = \dfrac{D}{180}
Segundo trecho: t_2 = \dfrac{D/3}{40} = \dfrac{D}{120}
Terceiro trecho: t_3 = \dfrac{D/3}{20} = \dfrac{D}{60}

Somando com denominador comum 360:

t = D\left(\frac{2}{360}+\frac{3}{360}+\frac{6}{360}\right) = \frac{11D}{360}

A velocidade média é:

v_m = \frac{D}{t} = \frac{D}{\frac{11D}{360}} = \frac{360}{11} \approx 32{,}7\ \text{km/h}

O valor que mais se aproxima é 32{,}5\ \text{km/h}.

É a média harmônica das três velocidades, sempre menor que a média aritmética (40\ \text{km/h}), pois o carro passa mais tempo nas velocidades menores.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D (40 km/h) engana quem faz a média aritmética das velocidades, esquecendo que os tempos em cada trecho são diferentes.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem origem em um cálculo correto, próximo de 32,7 mas arredondado para um número "redondo".
CNão corresponde ao cálculo correto do tempo total; fica acima de 360/11.
DÉ a média aritmética (60+40+20)/3, que só vale se os tempos fossem iguais, e não as distâncias.
ESupera até a média aritmética; não tem justificativa física, pois a média real é menor que 40.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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