Questão 4 da FUVEST 2016

Uma igualdade só vale "para quaisquer a e b" se for uma identidade. Para reprovar uma alternativa, basta um contraexemplo; para aprovar, é preciso uma demonstração algébrica.

Teste com a = b = 1:

1. (A): \sqrt[3]{1+1} = \sqrt[3]{2} \neq 2. Falsa.
2. (B): \dfrac{1}{1-\sqrt{2}} \approx -2{,}41, e -\dfrac{1}{b} = -1. Falsa.
3. (C): (\sqrt{1}-\sqrt{1})^2 = 0, e a-b = 0. Coincidiu, então teste a=4, b=1: (2-1)^2 = 1, mas a-b = 3. Falsa. O correto seria (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b.
4. (D): \dfrac{1}{2} \neq 1+1 = 2. Falsa.
5. (E): use a diferença de cubos, a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). Então:

O denominador é positivo para a,b>0, então o cancelamento é válido. A igualdade é uma identidade.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana porque com a=b a igualdade vale (ambos dão 0), escondendo o erro se o teste for só com valores iguais.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aa raiz cúbica de uma soma não é a soma das raízes; com a=b=1 dá \sqrt[3]{2}\neq 2.
• Bcom a=b=1 o lado esquerdo vale cerca de -2{,}41 e o direito -1; a igualdade não vale em geral.
• Cesquece o termo do meio do quadrado da diferença, -2\sqrt{ab}.
• Do inverso de uma soma não é a soma dos inversos.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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