Questão 2 da FUVEST 2016

1ª fase

Os pontos A, B e C são colineares, AB = 5, BC = 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em A. Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento \overline{BD} passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com \overline{AD}. Então, AP + BP vale

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8
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Resolução comentada

Coloque os pontos em uma reta: A, depois B, depois C, com AB=5 e BC=2, então AC=7.

Como C e D pertencem à circunferência de centro A, o raio é AC=7. Logo, AD=7.

A reta r é perpendicular a \overline{BD} e passa pelo seu ponto médio, ou seja, r é a mediatriz de \overline{BD}.

Propriedade da mediatriz: todo ponto dela é equidistante das extremidades do segmento. Como P está em r, temos PB=PD.

Como P também está em \overline{AD}, ele fica entre A e D, então:

  1. AP + PD = AD = 7
  2. Substituindo PD por PB: AP + BP = 7

Não foi preciso conhecer a posição exata de D: o resultado vale para qualquer D da circunferência.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma relação do problema; ignora que AP+PD=AD=7.
  • BUsa apenas AB=5, esquecendo que o raio é AC=7 e que PB=PD.
  • CValor sem base na construção; não usa a mediatriz nem o raio AC=7.
  • ESoma indevidamente AB+BC+1 ou erra o raio; o raio é 5+2=7, não 8.

Assuntos: mediatriz, circunferência, geometria plana.

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