Questão 46 da FUVEST 2015

1ª fase

Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de R$ 3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de R$ 4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de R$ 12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é

  1. A
    R$ 0,85
  2. B
    R$ 1,15
  3. C
    R$ 1,45
  4. D
    R$ 2,50
  5. E
    R$ 2,80
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Resolução comentada

Em centavos, o saldo é 1250 e a recarga é r. O saldo final será zero se o total 1250 + r for igual a 300x + 465y, com x e y inteiros não negativos (viagens simples e de integração).

Simplificando por 15: 300 = 15\cdot 20 e 465 = 15\cdot 31. Então os gastos possíveis são múltiplos de 15, da forma 15(20x + 31y).

Assim, 1250 + r deve ser múltiplo de 15. Como 1250 = 15\cdot 83 + 5, o resto é 5, e r deve deixar resto 10 na divisão por 15 (para 5 + r ser múltiplo de 15). Os valores candidatos são r = 10, 25, 40, \ldots centavos, mas as alternativas são de outra forma, então vamos testá-las.

Testando as alternativas, o total 1250 + r precisa ser múltiplo de 15:

  • A: 1335 = 15\cdot 89 ✓.
  • B: 1365 = 15\cdot 91 ✓.
  • C: 1395 = 15\cdot 93 ✓.
  • D: 1500 = 15\cdot 100 ✓.
  • E: 1530 = 15\cdot 102 ✓.

Todas passam nesse teste, então é preciso verificar se 20x + 31y atinge o valor exigido.

A: 89 = 20x + 31y. Com y=1: 58 não é múltiplo de 20; y=2: 27, não; y=0: 89, não. Impossível.

B: 91. y=1: 60 = 20\cdot 3 ✓. Logo x=3, y=1: 900 + 465 = 1365 ✓.

Como A é impossível e B é o próximo menor valor, B é o menor possível.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana: o total R$ 13,35 é múltiplo de 0,15, mas não pode ser formado por viagens de R$ 3,00 e R$ 4,65.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AR$ 12,50 + R$ 0,85 = R$ 13,35 é múltiplo de 0,15, mas não é possível escrevê-lo como 3x + 4,65y com x e y inteiros.
  • CPermite um total possível, mas não é o menor valor de recarga.
  • DTambém é possível (R$ 15,00 = 5 viagens simples), mas não é o menor valor.
  • ETambém possível (R$ 15,30), mas não é o menor valor.

Assuntos: múltiplos e divisibilidade, equação diofantina.

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