Questão 45 da FUVEST 2015

Question

A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30\ \text{m} desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200\ \text{m} acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10\ \text{m}. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

Ilustração de um projétil lançado da beira de um penhasco à esquerda, sobre um terreno plano e horizontal. Uma curva tracejada representa sua trajetória parabólica, subindo até um ponto de altura máxima e descendo até o solo à direita. O projétil aparece no trecho descendente; uma linha vertical pontilhada liga sua posição ao ponto P no terreno, pé da perpendicular.

A
60
B
90
C
120
D
150
E
180

Answer 1

Questão 45 da FUVEST 2015

1ª fase

A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30\ \text{m} desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200\ \text{m} acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10\ \text{m}. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

Ilustração de um projétil lançado da beira de um penhasco à esquerda, sobre um terreno plano e horizontal. Uma curva tracejada representa sua trajetória parabólica, subindo até um ponto de altura máxima e descendo até o solo à direita. O projétil aparece no trecho descendente; uma linha vertical pontilhada liga sua posição ao ponto P no terreno, pé da perpendicular.

A
60
B
90
C
120
D
150
E
180

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Resolução comentada

Coloque a origem no ponto de lançamento, com x sendo a distância percorrida por P e y a altura acima do terreno. A trajetória é uma parábola de eixo vertical, então y é função do segundo grau de x.

O vértice está em x=10, com y=200. Na forma canônica:

y = a(x-10)^2 + 200

O projétil atinge o solo quando P percorreu 30\ \text{m}, ou seja, y=0 em x=30:

0 = a(30-10)^2 + 200
0 = 400a + 200
a = -\dfrac{1}{2}

A altura no lançamento corresponde a x=0:

y(0) = -\frac{1}{2}(0-10)^2 + 200 = -\frac{1}{2}\cdot 100 + 200 = 150

Conferindo pela simetria: a raiz em x=30 tem simétrica em x=-10, e y(0)=-\frac{1}{2}(0+10)(0-30)=150. Confere.

O projétil foi lançado de 150\ \text{m} acima do terreno.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a parábola; não resulta de y(0) com a=-1/2.
BResulta de erro no coeficiente a ou na distância ao vértice, não satisfaz y(0).
CCorresponde a tomar a=-0{,}4, erro de conta ao determinar o coeficiente.
EResulta de usar o vértice em x=10 como se a raiz fosse em x=20 ou outro erro de conta.

Assuntos: função quadrática, parábola, forma canônica.

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