Questão 47 da FUVEST 2015
A equação x^2 + 2x + y^2 + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = -x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto (-3,4). Os valores de m e n são, respectivamente,
- A-4 e 3
- B4 e 5
- C-4 e 2
- D-2 e 4
- E2 e 3
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Resolução comentada
Completando quadrados, a equação fica (x+1)^2 + \left(y+\frac{m}{2}\right)^2 = n + 1 + \frac{m^2}{4}. Logo, o centro é C\left(-1,\,-\frac{m}{2}\right) e o raio ao quadrado é r^2 = n + 1 + \frac{m^2}{4}.
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O centro está na reta y = -x + 1. Substituindo x = -1: y = -(-1) + 1 = 2. Então -\frac{m}{2} = 2, ou seja, m = -4 e C(-1,2).
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O ponto (-3,4) está na circunferência, então sua distância ao centro é o raio: r^2 = (-3+1)^2 + (4-2)^2 = 4 + 4 = 8.
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Igualando: n + 1 + \frac{(-4)^2}{4} = 8, isto é, n + 1 + 4 = 8, portanto n = 3.
Conferindo na equação original com m=-4 e n=3: x^2+2x+y^2-4y = 3. Em (-3,4): 9-6+16-16 = 3. Confere.
Assim, m = -4 e n = 3.
Alternativa A.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Bm=4 tem sinal trocado, pois o centro teria y=-2, que não está na reta; o ponto (-3,4) também não satisfaz a equação.
- CAcerta m=-4, mas n=2 esquece o termo m^2/4 ou erra o raio; o ponto (-3,4) dá 3, não 2.
- Dm=-2 daria centro (-1,1), que não está na reta y=-x+1.
- Em=2 daria centro (-1,-1), fora da reta, e o sinal de m está trocado.
Assuntos: equação da circunferência, completar quadrados, reta e circunferência.
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