Questão 44 da FUVEST 2014

Question

O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

A
\frac{1}{3}
B
\frac{5}{12}
C
\frac{17}{36}
D
\frac{1}{2}
E
\frac{19}{36}

Answer 1

Questão 44 da FUVEST 2014

1ª fase

O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é

A
\frac{1}{3}
B
\frac{5}{12}
C
\frac{17}{36}
D
\frac{1}{2}
E
\frac{19}{36}

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Resolução comentada

São 6\times 6=36 resultados possíveis, todos igualmente prováveis. Precisamos contar os que dão pelo menos 8 casas, separando dois casos pela regra do jogo.

Dados iguais (as casas andadas valem o dobro da soma): os pares são (1,1), (2,2), ..., (6,6), que dão 4, 8, 12, 16, 20, 24 casas. Só (1,1) dá menos de 8, então (2,2) a (6,6) servem: 5 resultados.

Dados diferentes (as casas andadas valem a soma): precisamos de soma \geq 8.

Soma 8: (2,6), (6,2), (3,5), (5,3). O par (4,4) é igual e já foi contado. Dão 4 resultados.
Soma 9: (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), ou seja, 4 resultados.
Soma 10: (4,6), (6,4), ou seja, 2 resultados. O par (5,5) é igual e já foi contado.
Soma 11: (5,6), (6,5), ou seja, 2 resultados.
Soma 12: só (6,6), que é par igual e já foi contado.

Total de dados diferentes: 4+4+2+2=12.

Favoráveis: 5+12=17.

P=\frac{17}{36}

Alternativa C.

Pegadinha: A regra do dobro para dados iguais faz (2,2) e (3,3) valerem 8 e 12 casas; quem aplica só a soma simples e exige soma \geq 8 erra a contagem (chega a 15/36, alternativa B).

Por que as outras alternativas estão erradas

ADá 12/36, contando só os pares de dados diferentes e esquecendo os iguais.
BDá 15/36, contando errado os casos favoráveis.
DDá 18/36, contando um resultado a mais do que o correto.
EDá 19/36, contando dois resultados a mais do que o correto.

Assuntos: probabilidade, análise combinatória.

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