Questão 43 da FUVEST 2014
Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0,0), B = (3,4) e C = (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado \overline{AB} e o vértice P sobre o lado \overline{BC}. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é
- A\left(4, \dfrac{16}{5}\right)
- B\left(\dfrac{17}{4}, 3\right)
- C\left(5, \dfrac{12}{5}\right)
- D\left(\dfrac{11}{2}, 2\right)
- E\left(6, \dfrac{8}{5}\right)
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Resolução comentada
Seja h a altura do retângulo: Q e P têm ordenada h, com 0<h<4.
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Reta AB: passa por (0,0) e (3,4), logo y=\frac{4}{3}x. Com y=h, temos x_Q=\frac{3h}{4}.
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Reta BC: passa por (3,4) e (8,0), com coeficiente angular \frac{0-4}{8-3}=-\frac{4}{5}. Então y=-\frac{4}{5}(x-8). Com y=h, temos x_P=8-\frac{5h}{4}.
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A base do retângulo é x_P-x_Q=8-\frac{5h}{4}-\frac{3h}{4}=8-2h.
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A área é A(h)=h(8-2h)=-2h^2+8h.
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Essa é uma parábola com concavidade para baixo, e o máximo está no vértice: h=\frac{-8}{2\cdot(-2)}=2. Esse valor está entre 0 e 4, então serve.
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Para h=2: x_P=8-\frac{5\cdot 2}{4}=8-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.
Assim, P=\left(\frac{11}{2},2\right). Conferindo: a base é 8-4=4 e a área é 2\cdot4=8, que é maior que, por exemplo, h=1 (área 6) e h=3 (área 6).
Alternativa D.
Por que as outras alternativas estão erradas
- AO ponto (4,\frac{16}{5}) não está sobre BC e corresponde a uma altura que não maximiza a área.
- BTem h=3, cuja área é 3\cdot2=6, menor que o máximo 8.
- CTem h=\frac{12}{5}, que não é o vértice h=2; a área dá \frac{12}{5}\cdot\frac{16}{5}=7{,}68<8.
- ETem h=\frac{8}{5}, que não é o vértice; a área dá \frac{8}{5}\cdot\frac{24}{5}=7{,}68<8.
Assuntos: função quadrática, geometria analítica, otimização de área.
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