Questão 45 da FUVEST 2014

1ª fase

Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é

  1. A
    \frac{1}{8}
  2. B
    \frac{1}{6}
  3. C
    \frac{2}{9}
  4. D
    \frac{1}{4}
  5. E
    \frac{1}{3}
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Resolução comentada

Seja a a aresta do cubo. As três arestas do cubo que partem de um mesmo vértice são perpendiculares entre si e medem a. Como elas também são arestas do tetraedro, o tetraedro tem esse vértice como ponto em comum e os outros três vértices são as extremidades dessas arestas.

Assim, podemos tomar como base do tetraedro o triângulo retângulo formado por duas dessas arestas e como altura a terceira aresta, que é perpendicular ao plano da base.

  1. Área da base: \frac{a \cdot a}{2} = \frac{a^2}{2}.
  2. Altura: a.
  3. Volume do tetraedro: V_T = \frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a = \frac{a^3}{6}.
  4. Volume do cubo: V_C = a^3.

Razão:

\frac{V_T}{V_C} = \frac{a^3/6}{a^3} = \frac{1}{6}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhum cálculo correto; o tetraedro ocupa \frac{1}{6} do cubo, não \frac{1}{8}.
  • CValor sem relação com a fórmula \frac{1}{3}\cdot\text{base}\cdot\text{altura} usada no tetraedro.
  • DEsquece o fator \frac{1}{3} da pirâmide ou erra a área da base, chegando a um valor maior que o real.
  • EUsa o volume da pirâmide \frac{1}{3} com base quadrada inteira a^2, em vez do triângulo de área \frac{a^2}{2}.

Assuntos: volume de tetraedro, geometria espacial, razão de volumes.

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