Questão 60 da FUVEST 2012

A soma de logaritmos de mesma base vira o logaritmo do produto: \log_a b + \log_a c = \log_a (bc). Isso vale aqui porque, com 0<x<\pi, temos -1<\cos x<1, então 1-\cos x>0 e 1+\cos x>0.

1. Aplicando a propriedade: \log_3[(1-\cos x)(1+\cos x)] = -2.
2. O produto é uma diferença de quadrados: 1-\cos^2 x = \sen^2 x. Logo \log_3(\sen^2 x) = -2.
3. Pela definição de logaritmo: \sen^2 x = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}.
4. Como 0<x<\pi, \sen x>0, então \sen x = \dfrac{1}{3}.
5. Usamos \cos 2x = 1 - 2\sen^2 x = 1 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{9}.
6. Somando: \cos 2x + \sen x = \dfrac{7}{9} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{9}+\dfrac{3}{9} = \dfrac{10}{9}.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula só \cos 2x=7/9 e esquece de somar \sen x; a A engana quem para em \sen x.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ apenas o valor de \sen x, sem somar \cos 2x.
• BNão corresponde a nenhuma combinação correta de \cos 2x=7/9 e \sen x=1/3.
• CÉ apenas o valor de \cos 2x, esquecendo de somar \sen x.
• DResulta de erro na conta de \cos 2x ou da soma das frações, não bate com 7/9+3/9.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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