Questão 59 da FUVEST 2012

Question

O segmento \overline{AB} é lado de um hexágono regular de área \sqrt{3}. O ponto P pertence à mediatriz de \overline{AB} de tal modo que a área do triângulo PAB vale \sqrt{2}. Então, a distância de P ao segmento \overline{AB} é igual a

A
\sqrt{2}
B
2\sqrt{2}
C
3\sqrt{2}
D
\sqrt{3}
E
2\sqrt{3}

Answer 1

Questão 59 da FUVEST 2012

1ª fase

O segmento \overline{AB} é lado de um hexágono regular de área \sqrt{3}. O ponto P pertence à mediatriz de \overline{AB} de tal modo que a área do triângulo PAB vale \sqrt{2}. Então, a distância de P ao segmento \overline{AB} é igual a

A
\sqrt{2}
B
2\sqrt{2}
C
3\sqrt{2}
D
\sqrt{3}
E
2\sqrt{3}

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Resolução comentada

Um hexágono regular de lado \ell é formado por 6 triângulos equiláteros de lado \ell. Sua área é, portanto:

6\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}

Como a área vale \sqrt{3}, temos:

\dfrac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
\ell^2=\dfrac{2}{3}
\ell=\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}

O segmento \overline{AB} é esse lado, então AB=\ell.

O ponto P está na mediatriz de \overline{AB}. Ela é perpendicular a \overline{AB} e passa pelo ponto médio, então a distância de P ao segmento é a altura h do triângulo PAB relativa à base AB.

A área do triângulo é \dfrac{AB\cdot h}{2}=\sqrt{2}, logo:

h=\frac{2\sqrt{2}}{\ell}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}/\sqrt{3}}=2\sqrt{3}

Conferindo: \ell=\sqrt{2}/\sqrt{3}, e dividir por isso é multiplicar por \sqrt{3}/\sqrt{2}. Então 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}/\sqrt{2}=2\sqrt{3}.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACoincide com o valor da área do triângulo, sem relação com a altura pedida.
BObtida ao esquecer de dividir pelo lado \ell (ficando com 2\sqrt{2} no numerador).
CNão decorre de nenhuma etapa correta; valor sem relação com \ell e a área.
DEsquece o fator 2 da fórmula da área do triângulo (h=2A/\ell).

Assuntos: área do hexágono regular, área do triângulo, mediatriz.

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