Questão 61 da FUVEST 2012
Considere a função
f(x) = 1 - \frac{4x}{(x + 1)^2}\ ,
a qual está definida para x \neq -1. Então, para todo x \neq 1 e x \neq -1, o produto f(x)f(-x) é igual a
- A-1
- B1
- Cx + 1
- Dx^2 + 1
- E(x - 1)^2
Reportar erro na questão
Resolução comentada
A ideia é simplificar f(x) e f(-x) separadamente e depois multiplicar.
-
Coloque f(x) sobre um denominador comum:
f(x) = \frac{(x+1)^2 - 4x}{(x+1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} -
Para f(-x), troque x por -x:
f(-x) = \frac{(-x-1)^2}{(-x+1)^2} = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}
Pois (-x-1)^2 = (x+1)^2 e (-x+1)^2 = (x-1)^2. -
Multiplique:
f(x)\,f(-x) = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\cdot\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = 1
O cancelamento só é permitido porque x \neq 1 e x \neq -1, condição dada no enunciado (ela garante que nenhum denominador é zero).
Alternativa B.
Por que as outras alternativas estão erradas
- Aerra o sinal ao elevar (-x-1) ao quadrado, esquecendo que o quadrado é sempre positivo.
- Cnão resulta de nenhuma simplificação correta; o produto não depende de x.
- Dconfunde o numerador x^2-2x+1 com x^2+1, ignorando o termo -2x e o cancelamento.
- Econsidera apenas o numerador de f(x) e esquece o denominador e o fator de f(-x).
Assuntos: simplificação de expressões algébricas, funções, produtos notáveis.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
