Questão 58 da FUVEST 2012

1ª fase

Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a

  1. A
    100
  2. B
    105
  3. C
    115
  4. D
    130
  5. E
    135
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Resolução comentada

Chame de H o número inicial de homens e de M o de mulheres. O total inicial é n = H + M.

Primeira situação: saem 31 mulheres e sobram 2 homens para cada mulher. Então os homens são o dobro das mulheres restantes:

H = 2(M - 31)

Segunda situação: saem 55 homens e sobram 3 mulheres para cada homem. Então as mulheres restantes são o triplo dos homens restantes. As mulheres agora são M - 31 e os homens são H - 55:

M - 31 = 3(H - 55)

Resolvendo: seja x = M - 31. A primeira equação dá H = 2x. Substituindo na segunda:

  1. x = 3(2x - 55)
  2. x = 6x - 165
  3. 5x = 165, logo x = 33

Assim, M = 33 + 31 = 64 e H = 2 \cdot 33 = 66.

Conferindo: após saírem 31 mulheres, sobram 33 mulheres e 66 homens, razão de 2 homens para 1 mulher. Depois saem 55 homens e sobram 11 homens e 33 mulheres, razão de 3 mulheres para 1 homem. Está certo.

O total inicial é n = 66 + 64 = 130.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com as equações; não satisfaz as razões dadas.
  • BNão satisfaz o sistema; resulta de erro ao montar as razões.
  • CNão satisfaz as duas razões do enunciado ao ser testado.
  • ENão satisfaz o sistema; provável erro ao somar os grupos que saíram.

Assuntos: sistema de equações, razão e proporção.

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