Questão 38 da FUVEST 2008

1ª fase

Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,

  1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
  2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.

Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a

  1. A
    928
  2. B
    1152
  3. C
    1828
  4. D
    2412
  5. E
    3456
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Resolução comentada

Temos 9 passageiros e 9 lugares (3 bancos de 3 lugares). Vamos contar as disposições respeitando as duas condições.

Banco dos Sousa: a família ocupa um banco inteiro, pois são 3 pessoas e o banco tem 3 lugares.

  1. Escolher o banco dos Sousa: 3 maneiras.
  2. Permutar os três Sousa dentro do banco: 3! = 6 maneiras.

Os outros 6 passageiros (Lúcia, Mauro e mais quatro pessoas) ocupam os 2 bancos restantes, com 6 lugares. Lúcia e Mauro devem ficar lado a lado, ou seja, em lugares vizinhos no mesmo banco. Em um banco de 3 lugares (posições 1, 2, 3), os pares vizinhos são (1,2) e (2,3): 2 pares.

  1. Escolher o banco do casal: 2 maneiras.
  2. Escolher o par de lugares vizinhos: 2 maneiras.
  3. Trocar Lúcia e Mauro de posição: 2 maneiras.
  4. Os 4 outros passageiros ocupam os 4 lugares que sobram (1 no banco do casal e 3 no outro): 4! = 24 maneiras.

Multiplicando tudo:

3 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 24 = 18 \cdot 8 \cdot 24 = 3456

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a contagem correta; não multiplica todas as etapas.
  • BFica em 1152, que é 3456/3: esquece a escolha do banco dos Sousa ou conta só um dos bancos possíveis.
  • CNúmero sem origem na contagem; resulta de erro de conta.
  • DNúmero sem origem na contagem; resulta de erro de conta.

Assuntos: análise combinatória, princípio multiplicativo, permutações.

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