Questão 39 da FUVEST 2008

Question

A circunferência dada pela equação x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento \overline{MN} é paralelo ao segmento \overline{AB} e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando uma circunferência no primeiro quadrante, tangente ao eixo x em A e ao eixo y em B. O centro C da circunferência pertence ao segmento MN, que é paralelo ao segmento AB. A região entre os segmentos AB e MN, limitada pela circunferência, está hachurada.

A
\pi - 2
B
\pi + 2
C
\pi + 4
D
\pi + 6
E
\pi + 8

Answer 1

Questão 39 da FUVEST 2008

1ª fase

A circunferência dada pela equação x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento \overline{MN} é paralelo ao segmento \overline{AB} e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale

Plano cartesiano com eixos x e y mostrando uma circunferência no primeiro quadrante, tangente ao eixo x em A e ao eixo y em B. O centro C da circunferência pertence ao segmento MN, que é paralelo ao segmento AB. A região entre os segmentos AB e MN, limitada pela circunferência, está hachurada.

A
\pi - 2
B
\pi + 2
C
\pi + 4
D
\pi + 6
E
\pi + 8

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Resolução comentada

Primeiro, ache o centro e o raio completando quadrados:

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4, então C=(2,2) e r=2. Como é tangente aos eixos, A=(2,0) e B=(0,2).

A região hachurada fica entre a corda \overline{AB} e o diâmetro \overline{MN}, que é paralelo a AB e passa por C. Ela tem duas partes:

O segmento circular entre a corda AB e o arco que está do lado de A e B até o diâmetro, de modo que a região total é: semicírculo (o lado de MN que contém A e B) menos o segmento circular que fica além de AB.
Semicírculo: \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{4\pi}{2} = 2\pi.
Segmento circular além de AB: como AB é vista do centro sob ângulo de 90^\circ (os raios CA e CB são perpendiculares), sua área é setor menos triângulo: \dfrac{\pi r^2}{4} - \dfrac{r^2}{2} = \pi - 2.
Área hachurada: 2\pi - (\pi - 2) = \pi + 2.

Conferindo: a região hachurada é o trecho entre a corda e o diâmetro paralelo, ou seja, o triângulo ABC (área 2) mais o setor do semicírculo de ângulo 90^\circ restante... as duas contas dão \pi+2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai 2 em vez de somar; confunde a área do segmento circular (\pi-2) com a região pedida.
CSoma 4, valor sem relação com o triângulo ABC (área 2) nem com o segmento circular.
DSoma 6, resultado de erro de contas nas áreas de triângulo e setor.
ESoma 8, resultado de erro de contas nas áreas de triângulo e setor, sem coerência com a figura.

Assuntos: equação da circunferência, área de segmento circular.

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