Questão 37 da FUVEST 2008

1ª fase

O triângulo ACD é isósceles de base \overline{CD} e o segmento \overline{OA} é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD, conforme a figura:

Representação tridimensional de um plano contendo o triângulo OCD e um ponto A exterior ao plano, com segmento vertical OA perpendicular ao plano e segmentos AC e AD formando o triângulo ACD com a base CD. O segmento OD é representado em linha tracejada.

Sabendo-se que OA = 3, AC = 5 e \sen O\hat{C}D = \frac{1}{3}, então a área do triângulo OCD vale

  1. A
    16\sqrt{2}/9
  2. B
    32\sqrt{2}/9
  3. C
    48\sqrt{2}/9
  4. D
    64\sqrt{2}/9
  5. E
    80\sqrt{2}/9
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Como OA é perpendicular ao plano, ele é perpendicular a OC e a OD. Então AOC e AOD são triângulos retângulos em O.

  1. No triângulo AOC: OC^2 = AC^2 - OA^2 = 25 - 9 = 16, logo OC = 4.

  2. O triângulo ACD é isósceles de base CD, então AD = AC = 5. No triângulo AOD: OD^2 = 25 - 9 = 16, logo OD = 4.

  3. Assim, OCD é isósceles com OC = OD = 4, e os ângulos da base são iguais: O\hat{C}D = O\hat{D}C = \alpha, com \sen\alpha = \frac{1}{3}.

  4. Cálculo do cosseno: \cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} (o ângulo da base é agudo).

  5. O ângulo do vértice é O = 180^\circ - 2\alpha, então \sen O = \sen 2\alpha = 2\sen\alpha\cos\alpha = 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}.

  6. Área:

S = \frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\cdot \sen O = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot\frac{4\sqrt{2}}{9} = \frac{32\sqrt{2}}{9}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AMetade do valor correto: esquece de que o fator \frac{1}{2} já foi usado, ou usa \sen O errado.
  • CValor sem relação com as contas corretas; não resulta de OC=OD=4 e \sen O = 4\sqrt{2}/9.
  • DDobro do valor correto: esquece o fator \frac{1}{2} da fórmula da área.
  • ENão corresponde a nenhum cálculo coerente com os lados 4 e 4.

Assuntos: geometria espacial, área de triângulo, trigonometria.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 37 no caderno da FUVEST 2008