Questão 38 da FUVEST 2007

1ª fase

Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto.

Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.

Quantas comissões podem ser formadas?

  1. A
    71
  2. B
    75
  3. C
    80
  4. D
    83
  5. E
    87
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Resolução comentada

A restrição é: Andréia não pode estar na mesma comissão que Manoel nem que Alberto. Os outros 6 alunos se dão bem com todos.

Separamos em dois casos, conforme Andréia participe ou não.

  1. Andréia na comissão: Manoel e Alberto ficam de fora. Restam 9-3=6 alunos, dos quais escolhemos 4 para completar a comissão:

    \binom{6}{4}=15

  2. Andréia fora da comissão: sobram 8 alunos (Manoel e Alberto podem participar juntos, pois se dão bem). Escolhemos 5:

    \binom{8}{5}=56

  3. Os casos não se sobrepõem (Andréia está ou não está), então somamos:

    15+56=71

Conferindo pelo complemento: total \binom{9}{5}=126. Comissões com Andréia: \binom{8}{4}=70. Dessas, as boas são 15, logo 55 são ruins. 126-55=71. Confere.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem correspondência com nenhum caso; erro de contagem nos casos com Andréia.
  • CNão corresponde ao resultado correto; provável soma errada dos casos.
  • DNão corresponde ao resultado correto; provável subtração errada de comissões inválidas.
  • EValor sem correspondência; contagem excessiva de comissões com Andréia.

Assuntos: combinatória, combinação, princípio aditivo.

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