Questão 39 da FUVEST 2007

1ª fase

O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta \overline{\text{AE}}, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a

Cubo de vértices ABCDEFGH com a base ABCD e o topo EFGH, indicando o ponto M sobre a aresta vertical AE.

  1. A
    a\sqrt{3} / 5
  2. B
    a\sqrt{3} / 3
  3. C
    a\sqrt{3} / 2
  4. D
    a\sqrt{3}
  5. E
    2a\sqrt{3}
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Resolução comentada

Precisamos da distância entre M e o centro O do quadrado ABCD. Vamos montar um triângulo retângulo e usar Pitágoras.

Na figura, ABCD é a base e AE é uma aresta vertical, perpendicular à base. Como M está em AE, o segmento AM é perpendicular a qualquer reta da base que passe por A, inclusive AO.

  1. M é ponto médio de AE, então AM = \dfrac{a}{2}.

  2. O centro O do quadrado é o ponto médio da diagonal AC. A diagonal do quadrado de lado a mede a\sqrt{2}, logo AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.

  3. O triângulo MAO é retângulo em A, com catetos AM e AO e hipotenusa MO:

MO^2 = AM^2 + AO^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
  1. Tirando a raiz:
MO = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma combinação correta dos catetos; denominador 5 sem sentido geométrico.
  • BResultado de uma conta errada, como dividir a diagonal do cubo por 3; a distância pedida não é a\sqrt{3}/3.
  • DÉ a diagonal do cubo, a\sqrt{3}, e não a distância de M ao centro da base.
  • EDobra a diagonal do cubo, valor maior que qualquer distância dentro do cubo.

Assuntos: geometria espacial, teorema de Pitágoras, cubo.

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