Questão 37 da FUVEST 2007

Question

Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento \overline{\text{EF}}, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura.

Se \text{AE} = 3 e \text{BG} = 1, então a medida do segmento \overline{\text{AF}} é igual a

Retângulo ABCD com uma dobra ao longo do segmento EF que leva o vértice A até a posição G sobre o segmento BC. Os segmentos pontilhados indicam a posição original de AE e AF, e há uma seta curva indicando o sentido da dobra em torno de EF.

A
\dfrac{3\sqrt{5}}{2}
B
\dfrac{7\sqrt{5}}{8}
C
\dfrac{3\sqrt{5}}{4}
D
\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
E
\dfrac{\sqrt{5}}{3}

Answer 1

Questão 37 da FUVEST 2007

1ª fase

Uma folha de papel ABCD de formato retangular é dobrada em torno do segmento \overline{\text{EF}}, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como mostra a figura.

Se \text{AE} = 3 e \text{BG} = 1, então a medida do segmento \overline{\text{AF}} é igual a

Retângulo ABCD com uma dobra ao longo do segmento EF que leva o vértice A até a posição G sobre o segmento BC. Os segmentos pontilhados indicam a posição original de AE e AF, e há uma seta curva indicando o sentido da dobra em torno de EF.

A
\dfrac{3\sqrt{5}}{2}
B
\dfrac{7\sqrt{5}}{8}
C
\dfrac{3\sqrt{5}}{4}
D
\dfrac{3\sqrt{5}}{5}
E
\dfrac{\sqrt{5}}{3}

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Na dobra, o ponto A vai para G. Então a dobra EF funciona como um espelho, e os segmentos que saem de A ficam com o mesmo tamanho dos que chegam a G:

EG = AE = 3
FG = AF

Usamos um sistema de coordenadas com A=(0,0), B=(w,0), G=(w,1), E=(0,3) e F=(x,0). Assim, AF = x.

Triângulo retângulo formado por E, G e o ponto do lado BC à altura de E. Os catetos são w (a largura do papel) e 3-1=2, e a hipotenusa é EG=3:

w^2+2^2=3^2 \Rightarrow w^2=5 \Rightarrow w=\sqrt5
Triângulo FBG, retângulo em B, com FB = \sqrt5 - x, BG=1 e FG=x:

(\sqrt5-x)^2+1^2=x^2

5-2\sqrt5\,x+x^2+1=x^2

6=2\sqrt5\,x \Rightarrow x=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}

Logo, AF=\dfrac{3\sqrt5}{5}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor grande demais; não resulta da equação (\sqrt5-x)^2+1=x^2.
BNão sai de nenhuma relação correta do triângulo FBG; é um valor sem base na conta.
CErra a conta ao isolar x, dividindo por 4 em vez de por 2\sqrt5 e racionalizar.
EValor pequeno demais, sem relação com x=6/(2\sqrt5).

Assuntos: semelhança e Pitágoras, geometria plana, dobradura.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova