Questão 30 da FUVEST 2006

Question

Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado \overline{AB} e a altura do triângulo ABC em relação a \overline{BC} é \alpha. Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de \alpha, pela expressão:

Circunferência com o triângulo isósceles ABC inscrito, com A no alto, B à direita e C à esquerda na parte inferior. Uma altura parte de A e encontra perpendicularmente a base BC, com marca de ângulo reto no pé da altura. O ângulo entre essa altura e o lado AB está indicado por α.

A
\dfrac{2}{\pi}\cos^2\alpha
B
\dfrac{2}{\pi}\sen^2 2\alpha
C
\dfrac{2}{\pi}\sen^2 2\alpha\cos\alpha
D
\dfrac{2}{\pi}\sen\alpha\cos 2\alpha
E
\dfrac{2}{\pi}\sen 2\alpha\cos^2\alpha

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da FUVEST 2006

1ª fase · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado \overline{AB} e a altura do triângulo ABC em relação a \overline{BC} é \alpha. Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de \alpha, pela expressão:

Circunferência com o triângulo isósceles ABC inscrito, com A no alto, B à direita e C à esquerda na parte inferior. Uma altura parte de A e encontra perpendicularmente a base BC, com marca de ângulo reto no pé da altura. O ângulo entre essa altura e o lado AB está indicado por α.

A
\dfrac{2}{\pi}\cos^2\alpha
B
\dfrac{2}{\pi}\sen^2 2\alpha
C
\dfrac{2}{\pi}\sen^2 2\alpha\cos\alpha
D
\dfrac{2}{\pi}\sen\alpha\cos 2\alpha
E
\dfrac{2}{\pi}\sen 2\alpha\cos^2\alpha

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja R o raio da circunferência e H o pé da altura relativa a BC. Como AB = AC, a altura também é bissetriz, então \hat{A} = 2\alpha.

Pela lei dos senos no triângulo ABC: \dfrac{BC}{\sen 2\alpha} = 2R, logo BC = 2R\,\sen 2\alpha.
No triângulo retângulo ABH, o ângulo em B vale 90^\circ - \alpha. Os ângulos da base são iguais, \hat{B} = \hat{C} = 90^\circ - \alpha, e a lei dos senos dá AB = 2R\,\sen(90^\circ-\alpha) = 2R\cos\alpha.
A altura é AH = AB\cos\alpha = 2R\cos^2\alpha.
Área do triângulo:

S = \dfrac{BC\cdot AH}{2} = \dfrac{2R\,\sen 2\alpha \cdot 2R\cos^2\alpha}{2} = 2R^2\,\sen 2\alpha\cos^2\alpha
Área do círculo: \pi R^2.
Quociente:

\dfrac{S}{\pi R^2} = \dfrac{2}{\pi}\,\sen 2\alpha\cos^2\alpha

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora o fator \sen 2\alpha da base BC, usando só a altura.
BTroca o fator \cos^2\alpha da altura por \sen 2\alpha, errando a relação da altura com o raio.
CUsa \cos\alpha em vez de \cos^2\alpha e repete \sen 2\alpha ao quadrado, sem justificativa geométrica.
DConfunde o ângulo central 2\alpha e mistura \sen\alpha com \cos 2\alpha, que não aparecem nas medidas.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Círculo: comprimento, arcos e áreas, Trigonometria no triângulo retângulo.

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