Questão 28 da FUVEST 2006

Condição de existência: os logaritmandos precisam ser positivos.

• 2x+5>0 \Rightarrow x>-\tfrac52
• 3x-1>0 \Rightarrow x>\tfrac13

Juntando as duas, x>\tfrac13.

Resolvendo a inequação: use a propriedade da diferença de logaritmos de mesma base, \log_2 a-\log_2 b=\log_2\frac{a}{b}, e escreva 1=\log_2 2:

Como a base 2 é maior que 1, o logaritmo é crescente e o sentido da desigualdade se mantém:

Como x>\tfrac13, temos 3x-1>0, então podemos multiplicar os dois lados por 3x-1 sem inverter o sinal:

1. 2x+5>2(3x-1)
2. 2x+5>6x-2
3. 7>4x
4. x<\tfrac74

Interseção com a condição de existência: x>\tfrac13 e x<\tfrac74, ou seja, \tfrac13<x<\tfrac74.

Teste: x=1 dá \log_2 7-\log_2 2=\log_2 3{,}5>1. ✓.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem inverte o sinal ao passar de 7>4x para x>7/4; a D exige lembrar também da condição de existência.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIgnora a condição de existência e o intervalo está fora do domínio, pois exige x>1/3.
• BInverte o sinal ao isolar x, obtendo x>7/4 em vez de x<7/4.
• CConsidera só 2x+5>0 e esquece que 3x-1>0; o intervalo não satisfaz a inequação.
• EEstá fora do domínio, pois 3x-1<0 para x<1/3.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Inequações e desigualdades.

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