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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 21 da FUVEST 2006

1ª fase · Matemática: Prismas e paralelepípedos

A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é

Desenho em perspectiva de um cubo grande formado pela junção de 4 por 4 por 4 cubos menores.

  1. A
    24
  2. B
    26
  3. C
    28
  4. D
    30
  5. E
    32
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Resolução comentada

O cubo grande é 4\times4\times4. Um cubinho tem pelo menos duas faces pintadas quando fica em uma aresta ou em um vértice do cubo grande, pois os do meio das faces têm só uma face externa e os do interior não têm nenhuma. Falta descobrir quais deles foram de fato pintados, já que uma das seis faces ficou sem tinta.

Seja a face sem pintura a de baixo. Contamos os cubinhos que têm pelo menos duas faces pintadas entre as cinco faces pintadas.

  1. Camada de cima (altura 4): as faces laterais e a de cima são pintadas. Nessa camada 4\times4, os cubinhos do contorno ficam em arestas ou vértices: 16-4=12 cubinhos. Os 4 centrais têm só a face de cima pintada.

  2. Camadas intermediárias (alturas 2 e 3): só as faces laterais são pintadas. Têm duas faces pintadas os cubinhos dos quatro cantos da camada, ou seja, 4 por camada, num total de 2\times4=8.

  3. Camada de baixo (altura 1): a face de baixo não é pintada. Só os 4 cubinhos dos cantos têm duas faces pintadas (as duas laterais). Os da borda, fora dos cantos, têm apenas uma face pintada, então são 4.

Total:

12+8+4=24

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem conta todos os cubinhos de arestas e vértices (32) esquecendo que uma face não foi pintada.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BResultado sem justificativa; não corresponde à contagem por camadas.
  • CResultado sem justificativa; erro de contagem nas camadas.
  • DResultado sem justificativa; erro de contagem nas camadas.
  • EConta os 32 cubinhos de arestas e vértices do cubo inteiro, como se as seis faces fossem pintadas, sem descontar a face sem tinta.

Assunto: Prismas e paralelepípedos.

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