Questão 22 da FUVEST 2006

Question

Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto \text{P} e pelo centro da circunferência de raio \text{R}, interceptando-a no ponto \text{Q}, entre \text{P} e o centro. Além disso, a reta t passa por \text{P}, é tangente à circunferência e forma um ângulo \alpha com a reta s. Se \text{PQ} = 2\text{R} , então \cos\alpha vale

Circunferência cortada pela reta horizontal s no ponto Q, e reta t passando pelo ponto P, tangente à circunferência no topo, formando um ângulo alfa com a reta s no ponto P.

A
\sqrt{2}/6
B
\sqrt{2}/3
C
\sqrt{2}/2
D
2\sqrt{2}/3
E
3\sqrt{2}/5

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 22 da FUVEST 2006

1ª fase · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto \text{P} e pelo centro da circunferência de raio \text{R}, interceptando-a no ponto \text{Q}, entre \text{P} e o centro. Além disso, a reta t passa por \text{P}, é tangente à circunferência e forma um ângulo \alpha com a reta s. Se \text{PQ} = 2\text{R} , então \cos\alpha vale

Circunferência cortada pela reta horizontal s no ponto Q, e reta t passando pelo ponto P, tangente à circunferência no topo, formando um ângulo alfa com a reta s no ponto P.

A
\sqrt{2}/6
B
\sqrt{2}/3
C
\sqrt{2}/2
D
2\sqrt{2}/3
E
3\sqrt{2}/5

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja O o centro e T o ponto de tangência. Como a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência, o triângulo OTP é retângulo em T, com OT = R.

A reta s passa por O e por Q, e Q está na circunferência, então OQ = R. Como Q fica entre P e O:

OP = OQ + QP = R + 2R = 3R

O ângulo \alpha é o ângulo em P do triângulo OTP. Nele, o cateto oposto a \alpha é OT = R e a hipotenusa é OP = 3R:

\sen\alpha = \frac{R}{3R} = \frac{1}{3}

Para achar o cosseno, use \sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. Como \alpha é um ângulo agudo, \cos\alpha > 0:

\cos\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Conferindo pelo Pitágoras: TP^2 = (3R)^2 - R^2 = 8R^2, então TP = 2\sqrt{2}R e \cos\alpha = \dfrac{TP}{OP} = \dfrac{2\sqrt{2}R}{3R} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula \sqrt{8}/3 e simplifica \sqrt{8} como \sqrt{2}, esquecendo o fator 2.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa geométrica; não resulta de \sqrt{8}/3 simplificado corretamente.
BErra a simplificação de \sqrt{8}, tomando \sqrt{2} em vez de 2\sqrt{2}.
CCorresponde a \alpha = 45^\circ, que exigiria OP = R\sqrt{2}, não 3R.
ENão decorre das medidas do triângulo OTP (R, 3R e 2\sqrt{2}R).

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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