Questão 24 da FUVEST 2004

Question

Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

Representação esquemática de um campo de futebol mostrando o ponto L do lateral e o ponto A do atacante alinhados verticalmente a uma distância de 32 m, com a linha de meio de campo passando equidistantemente entre eles, e a trajetória reta da bola partindo de L e cruzando a linha de meio de campo a 12 m do segmento que une L e A.

A
18{,}8\text{ m}
B
19{,}2\text{ m}
C
19{,}6\text{ m}
D
20\text{ m}
E
20{,}4\text{ m}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 24 da FUVEST 2004

1ª fase · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

Representação esquemática de um campo de futebol mostrando o ponto L do lateral e o ponto A do atacante alinhados verticalmente a uma distância de 32 m, com a linha de meio de campo passando equidistantemente entre eles, e a trajetória reta da bola partindo de L e cruzando a linha de meio de campo a 12 m do segmento que une L e A.

A
18{,}8\text{ m}
B
19{,}2\text{ m}
C
19{,}6\text{ m}
D
20\text{ m}
E
20{,}4\text{ m}

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Resolução comentada

Coloque L na origem e A em (0;32). A linha de meio de campo está a 16\ \text{m} de cada jogador, e a bola a cruza no ponto (12;16), a 12\ \text{m} da linha LA.

A trajetória da bola é a reta que passa por L e por esse ponto. O atacante quer ir da posição A até essa reta pelo menor caminho, que é o segmento perpendicular à reta, ou seja, a distância de A à reta.

Direção da reta: vetor (12;16), que é proporcional a (3;4). O comprimento de LP é \sqrt{12^2+16^2}=20\ \text{m}.
Equação da reta: y=\frac{4}{3}x, ou seja, 4x-3y=0.
Distância de A(0;32) à reta:

d=\frac{|4\cdot 0-3\cdot 32|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{96}{5}=19{,}2\ \text{m}

Conferindo por trigonometria: o ângulo \theta entre a reta e LA tem \sen\theta=\frac{12}{20}=0{,}6. A distância de A à reta é LA\cdot\sen\theta=32\cdot 0{,}6=19{,}2\ \text{m}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D (20 m) engana: é o trajeto da bola de L até a linha de meio, não a distância perpendicular de A à trajetória.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa geométrica, próximo do correto por erro de conta.
CValor sem justificativa geométrica, erro de cálculo na distância ponto-reta.
DÉ a distância de L até o ponto de cruzamento do meio de campo (20 m), não a distância mínima de A à trajetória.
EValor sem justificativa geométrica, não decorre da perpendicular de A à reta.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: FUVEST 2004. Prova oficial ↗