Questão 23 da FUVEST 2004

Question

Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo \text{A}\hat{\text{C}}\text{B} intercepta a semi-circunferência.

O comprimento da corda \overline{\text{AD}} é:

Semicircunferência de centro C sobre a base contendo o triângulo equilátero ABC com vértices A e B no arco circular e vértice C no centro. O segmento tracejado CD parte do vértice C, bissecta o ângulo ACB e intercepta o arco no ponto D.

A
\text{R}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
B
\text{R}\sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
C
\text{R}\sqrt{\sqrt{2} - 1}
D
\text{R}\sqrt{\sqrt{3} - 1}
E
\text{R}\sqrt{3 - \sqrt{2}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 23 da FUVEST 2004

1ª fase · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo \text{A}\hat{\text{C}}\text{B} intercepta a semi-circunferência.

O comprimento da corda \overline{\text{AD}} é:

Semicircunferência de centro C sobre a base contendo o triângulo equilátero ABC com vértices A e B no arco circular e vértice C no centro. O segmento tracejado CD parte do vértice C, bissecta o ângulo ACB e intercepta o arco no ponto D.

A
\text{R}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
B
\text{R}\sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
C
\text{R}\sqrt{\sqrt{2} - 1}
D
\text{R}\sqrt{\sqrt{3} - 1}
E
\text{R}\sqrt{3 - \sqrt{2}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O triângulo ABC é equilátero com C no centro da semicircunferência, então CA = CB = R e o ângulo A\hat{C}B = 60^\circ.

A bissetriz CD divide esse ângulo ao meio, então A\hat{C}D = 30^\circ. Como D está na semicircunferência, CD = R.

O triângulo ACD é isósceles, com CA = CD = R e ângulo de 30^\circ entre esses lados. Para achar AD, use a lei dos cossenos:

AD^2 = R^2 + R^2 - 2\cdot R\cdot R\cdot \cos 30^\circ
AD^2 = 2R^2 - 2R^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}
AD^2 = R^2(2 - \sqrt{3})

Logo:

AD = R\sqrt{2-\sqrt{3}}

O resultado bate com a alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão resulta da lei dos cossenos com ângulo de 30°; a expressão não aparece em nenhuma etapa do cálculo.
CNão corresponde a 2-2\cos 30^\circ; seria um valor para outro ângulo.
DTroca o sinal e o valor: \sqrt{3}-1 não é 2-\sqrt{3}.
EUsa \sqrt{2} sem origem no cálculo; não vem de \cos 30^\circ.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: FUVEST 2004. Prova oficial ↗