Questão 87 da FUVEST 2003

A função f(x)=\min\{x+3,\,-x+5\} pega, em cada x, o menor valor entre duas retas. Uma é crescente (x+3) e a outra é decrescente (-x+5).

O gráfico de f segue a reta crescente até as duas se cruzarem e, depois, segue a decrescente. Ele forma um "telhado" e o ponto mais alto é o cruzamento.

1. Igualamos as duas expressões:

2. Resolvemos: 2x=2, logo x=1.

3. Calculamos o valor nesse ponto: f(1)=1+3=4 (e -1+5=4, igual).

Conferindo os dois lados do cruzamento:

• Para x<1, por exemplo x=0: x+3=3 e -x+5=5. O menor é 3, que é menor que 4.
• Para x>1, por exemplo x=2: x+3=5 e -x+5=3. O menor é 3, também menor que 4.

Portanto o valor máximo de f é 4, atingido em x=1.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponde ao valor de x onde as retas se cruzam, e não ao valor da função nesse ponto.
• BNão corresponde a nenhum valor relevante; é o máximo de f só se as retas fossem outras.
• DSeria o valor de x+3 em x=3, mas aí o menor é -x+5=2.
• ESoma 3+4 ou toma o maior valor de uma reta, ignorando que f é o menor dos dois números.

Assunto: Função afim.

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